Theorem fcoi2 2766

Description: Composition of restricted identity and a mapping.

Assertion

Ref	Expression
fcoi2	⊢ (F:A–→B → ((I ↾ B) ∘ F) = F)

Proof of Theorem fcoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ y ∈ V
2	1	opelf 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((F:A–→B ∧ ⟨x, y⟩ ∈ F) → (x ∈ A ∧ y ∈ B))
3	2	pm3.27d 262	. . . . . 6 ⊢ ((F:A–→B ∧ ⟨x, y⟩ ∈ F) → y ∈ B)
4	3	exp 291	. . . . 5 ⊢ (F:A–→B → (⟨x, y⟩ ∈ F → y ∈ B))
5		pm4.71 481	. . . . 5 ⊢ ((⟨x, y⟩ ∈ F → y ∈ B) ↔ (⟨x, y⟩ ∈ F ↔ (⟨x, y⟩ ∈ F ∧ y ∈ B)))
6	4, 5	sylib 173	. . . 4 ⊢ (F:A–→B → (⟨x, y⟩ ∈ F ↔ (⟨x, y⟩ ∈ F ∧ y ∈ B)))
7		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
8		opelcog 2511	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ V ∧ y ∈ V) → (⟨x, y⟩ ∈ ((I ↾ B) ∘ F) ↔ ∃z(⟨x, z⟩ ∈ F ∧ ⟨z, y⟩ ∈ (I ↾ B))))
9	7, 1, 8	mp2an 520	. . . . 5 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ((I ↾ B) ∘ F) ↔ ∃z(⟨x, z⟩ ∈ F ∧ ⟨z, y⟩ ∈ (I ↾ B)))
10	1	opelres 2579	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨z, y⟩ ∈ (I ↾ B) ↔ (⟨z, y⟩ ∈ I ∧ z ∈ B))
11		df-br 2063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (zIy ↔ ⟨z, y⟩ ∈ I)
12		visset 1350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ z ∈ V
13	12, 1	ideq 2127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (zIy ↔ z = y)
14	11, 13	bitr3 153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨z, y⟩ ∈ I ↔ z = y)
15	14	anbi1i 368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨z, y⟩ ∈ I ∧ z ∈ B) ↔ (z = y ∧ z ∈ B))
16	10, 15	bitr 151	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨z, y⟩ ∈ (I ↾ B) ↔ (z = y ∧ z ∈ B))
17	16	anbi2i 367	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨x, z⟩ ∈ F ∧ ⟨z, y⟩ ∈ (I ↾ B)) ↔ (⟨x, z⟩ ∈ F ∧ (z = y ∧ z ∈ B)))
18		an12 370	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨x, z⟩ ∈ F ∧ (z = y ∧ z ∈ B)) ↔ (z = y ∧ (⟨x, z⟩ ∈ F ∧ z ∈ B)))
19	17, 18	bitr 151	. . . . . 6 ⊢ ((⟨x, z⟩ ∈ F ∧ ⟨z, y⟩ ∈ (I ↾ B)) ↔ (z = y ∧ (⟨x, z⟩ ∈ F ∧ z ∈ B)))
20	19	biex 733	. . . . 5 ⊢ (∃z(⟨x, z⟩ ∈ F ∧ ⟨z, y⟩ ∈ (I ↾ B)) ↔ ∃z(z = y ∧ (⟨x, z⟩ ∈ F ∧ z ∈ B)))
21		opeq2 1877	. . . . . . . 8 ⊢ (z = y → ⟨x, z⟩ = ⟨x, y⟩)
22	21	eleq1d 1155	. . . . . . 7 ⊢ (z = y → (⟨x, z⟩ ∈ F ↔ ⟨x, y⟩ ∈ F))
23		eleq1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (z = y → (z ∈ B ↔ y ∈ B))
24	22, 23	anbi12d 476	. . . . . 6 ⊢ (z = y → ((⟨x, z⟩ ∈ F ∧ z ∈ B) ↔ (⟨x, y⟩ ∈ F ∧ y ∈ B)))
25	1, 24	ceqsexv 1371	. . . . 5 ⊢ (∃z(z = y ∧ (⟨x, z⟩ ∈ F ∧ z ∈ B)) ↔ (⟨x, y⟩ ∈ F ∧ y ∈ B))
26	9, 20, 25	3bitr 155	. . . 4 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ((I ↾ B) ∘ F) ↔ (⟨x, y⟩ ∈ F ∧ y ∈ B))
27	6, 26	syl6rbbr 417	. . 3 ⊢ (F:A–→B → (⟨x, y⟩ ∈ ((I ↾ B) ∘ F) ↔ ⟨x, y⟩ ∈ F))
28	27	19.21aivv 944	. 2 ⊢ (F:A–→B → ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ ((I ↾ B) ∘ F) ↔ ⟨x, y⟩ ∈ F))
29		frel 2755	. . 3 ⊢ (F:A–→B → Rel F)
30		relco 2658	. . . 4 ⊢ Rel ((I ↾ B) ∘ F)
31		cleqrel 2483	. . . 4 ⊢ ((Rel ((I ↾ B) ∘ F) ∧ Rel F) → (((I ↾ B) ∘ F) = F ↔ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ ((I ↾ B) ∘ F) ↔ ⟨x, y⟩ ∈ F)))
32	30, 31	mpan 518	. . 3 ⊢ (Rel F → (((I ↾ B) ∘ F) = F ↔ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ ((I ↾ B) ∘ F) ↔ ⟨x, y⟩ ∈ F)))
33	29, 32	syl 12	. 2 ⊢ (F:A–→B → (((I ↾ B) ∘ F) = F ↔ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ ((I ↾ B) ∘ F) ↔ ⟨x, y⟩ ∈ F)))
34	28, 33	mpbird 171	1 ⊢ (F:A–→B → ((I ↾ B) ∘ F) = F)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  Icid 2057   ↾ cres 2412   ∘ ccom 2414  Rel wrel 2415  –→wf 2418

This theorem is referenced by:  mapenlem2 3385

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434

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