Theorem fh2 5519

Description: Foulis-Holland Theorem. If any 2 pairs in a triple of orthomodular lattice elements commute, the triple is distributive. Second of two parts. Theorem 5 of [Kalmbach] p. 25.

Hypotheses

Ref	Expression
fh1.1	⊢ A ∈ Cℋ
fh1.2	⊢ B ∈ Cℋ
fh1.3	⊢ C ∈ Cℋ
fh1.4	⊢ A Com B
fh1.5	⊢ A Com C

Assertion

Ref	Expression
fh2	⊢ (B ∩ (A ∨ℋ C)) = ((B ∩ A) ∨ℋ (B ∩ C))

Proof of Theorem fh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fh1.2	. . . . 5 ⊢ B ∈ Cℋ
2		fh1.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ Cℋ
3	1, 2	chincl 5382	. . . 4 ⊢ (B ∩ A) ∈ Cℋ
4		fh1.3	. . . . 5 ⊢ C ∈ Cℋ
5	1, 4	chincl 5382	. . . 4 ⊢ (B ∩ C) ∈ Cℋ
6	3, 5	chjcl 5379	. . 3 ⊢ ((B ∩ A) ∨ℋ (B ∩ C)) ∈ Cℋ
7	2, 4	chjcl 5379	. . . . 5 ⊢ (A ∨ℋ C) ∈ Cℋ
8	1, 7	chincl 5382	. . . 4 ⊢ (B ∩ (A ∨ℋ C)) ∈ Cℋ
9	8	chshi 5132	. . 3 ⊢ (B ∩ (A ∨ℋ C)) ∈ Sℋ
10	1, 2, 4	ledi 5447	. . 3 ⊢ ((B ∩ A) ∨ℋ (B ∩ C)) ⊆ (B ∩ (A ∨ℋ C))
11	3, 5	chdmj1 5402	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥ ‘((B ∩ A) ∨ℋ (B ∩ C))) = ((⊥ ‘(B ∩ A)) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C)))
12	1, 2	chdmm1 5398	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥ ‘(B ∩ A)) = ((⊥ ‘B) ∨ℋ (⊥ ‘A))
13	12	ineq1i 1641	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊥ ‘(B ∩ A)) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C))) = (((⊥ ‘B) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C)))
14	11, 13	eqtr 1119	. . . . . . 7 ⊢ (⊥ ‘((B ∩ A) ∨ℋ (B ∩ C))) = (((⊥ ‘B) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C)))
15	14	ineq2i 1642	. . . . . 6 ⊢ ((B ∩ (A ∨ℋ C)) ∩ (⊥ ‘((B ∩ A) ∨ℋ (B ∩ C)))) = ((B ∩ (A ∨ℋ C)) ∩ (((⊥ ‘B) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C))))
16		in4 1653	. . . . . 6 ⊢ ((B ∩ (A ∨ℋ C)) ∩ (((⊥ ‘B) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C)))) = ((B ∩ ((⊥ ‘B) ∨ℋ (⊥ ‘A))) ∩ ((A ∨ℋ C) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C))))
17		fh1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ A Com B
18	2, 1, 17	cmcmi 5506	. . . . . . . . . 10 ⊢ B Com A
19	1, 2, 18	cmcm2i 5507	. . . . . . . . 9 ⊢ B Com (⊥ ‘A)
20	2	chocl 5192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥ ‘A) ∈ Cℋ
21	1, 20	cmbr3 5509	. . . . . . . . 9 ⊢ (B Com (⊥ ‘A) ↔ (B ∩ ((⊥ ‘B) ∨ℋ (⊥ ‘A))) = (B ∩ (⊥ ‘A)))
22	19, 21	mpbi 164	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∩ ((⊥ ‘B) ∨ℋ (⊥ ‘A))) = (B ∩ (⊥ ‘A))
23		incom 1636	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∩ (⊥ ‘A)) = ((⊥ ‘A) ∩ B)
24	22, 23	eqtr 1119	. . . . . . 7 ⊢ (B ∩ ((⊥ ‘B) ∨ℋ (⊥ ‘A))) = ((⊥ ‘A) ∩ B)
25	24	ineq1i 1641	. . . . . 6 ⊢ ((B ∩ ((⊥ ‘B) ∨ℋ (⊥ ‘A))) ∩ ((A ∨ℋ C) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C)))) = (((⊥ ‘A) ∩ B) ∩ ((A ∨ℋ C) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C))))
26	15, 16, 25	3eqtr 1123	. . . . 5 ⊢ ((B ∩ (A ∨ℋ C)) ∩ (⊥ ‘((B ∩ A) ∨ℋ (B ∩ C)))) = (((⊥ ‘A) ∩ B) ∩ ((A ∨ℋ C) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C))))
27		in4 1653	. . . . 5 ⊢ (((⊥ ‘A) ∩ B) ∩ ((A ∨ℋ C) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C)))) = (((⊥ ‘A) ∩ (A ∨ℋ C)) ∩ (B ∩ (⊥ ‘(B ∩ C))))
28	2	pjococ 5272	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥ ‘(⊥ ‘A)) = A
29	28	opreq1i 3009	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊥ ‘(⊥ ‘A)) ∨ℋ C) = (A ∨ℋ C)
30	29	ineq2i 1642	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥ ‘A) ∩ ((⊥ ‘(⊥ ‘A)) ∨ℋ C)) = ((⊥ ‘A) ∩ (A ∨ℋ C))
31		fh1.5	. . . . . . . . 9 ⊢ A Com C
32	2, 4, 31	cmcm3i 5508	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥ ‘A) Com C
33	20, 4	cmbr3 5509	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊥ ‘A) Com C ↔ ((⊥ ‘A) ∩ ((⊥ ‘(⊥ ‘A)) ∨ℋ C)) = ((⊥ ‘A) ∩ C))
34	32, 33	mpbi 164	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥ ‘A) ∩ ((⊥ ‘(⊥ ‘A)) ∨ℋ C)) = ((⊥ ‘A) ∩ C)
35	30, 34	eqtr3 1121	. . . . . 6 ⊢ ((⊥ ‘A) ∩ (A ∨ℋ C)) = ((⊥ ‘A) ∩ C)
36	35	ineq1i 1641	. . . . 5 ⊢ (((⊥ ‘A) ∩ (A ∨ℋ C)) ∩ (B ∩ (⊥ ‘(B ∩ C)))) = (((⊥ ‘A) ∩ C) ∩ (B ∩ (⊥ ‘(B ∩ C))))
37	26, 27, 36	3eqtr 1123	. . . 4 ⊢ ((B ∩ (A ∨ℋ C)) ∩ (⊥ ‘((B ∩ A) ∨ℋ (B ∩ C)))) = (((⊥ ‘A) ∩ C) ∩ (B ∩ (⊥ ‘(B ∩ C))))
38		inass 1650	. . . 4 ⊢ (((⊥ ‘A) ∩ C) ∩ (B ∩ (⊥ ‘(B ∩ C)))) = ((⊥ ‘A) ∩ (C ∩ (B ∩ (⊥ ‘(B ∩ C)))))
39		in12 1651	. . . . . . . 8 ⊢ (C ∩ (B ∩ (⊥ ‘(B ∩ C)))) = (B ∩ (C ∩ (⊥ ‘(B ∩ C))))
40		inass 1650	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∩ C) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C))) = (B ∩ (C ∩ (⊥ ‘(B ∩ C))))
41	39, 40	eqtr4 1122	. . . . . . 7 ⊢ (C ∩ (B ∩ (⊥ ‘(B ∩ C)))) = ((B ∩ C) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C)))
42	5	chocin 5376	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∩ C) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C))) = 0ℋ
43	41, 42	eqtr 1119	. . . . . 6 ⊢ (C ∩ (B ∩ (⊥ ‘(B ∩ C)))) = 0ℋ
44	43	ineq2i 1642	. . . . 5 ⊢ ((⊥ ‘A) ∩ (C ∩ (B ∩ (⊥ ‘(B ∩ C))))) = ((⊥ ‘A) ∩ 0ℋ)
45	20	chm0 5411	. . . . 5 ⊢ ((⊥ ‘A) ∩ 0ℋ) = 0ℋ
46	44, 45	eqtr 1119	. . . 4 ⊢ ((⊥ ‘A) ∩ (C ∩ (B ∩ (⊥ ‘(B ∩ C))))) = 0ℋ
47	37, 38, 46	3eqtr 1123	. . 3 ⊢ ((B ∩ (A ∨ℋ C)) ∩ (⊥ ‘((B ∩ A) ∨ℋ (B ∩ C)))) = 0ℋ
48	6, 9, 10, 47	omlsi 5250	. 2 ⊢ ((B ∩ A) ∨ℋ (B ∩ C)) = (B ∩ (A ∨ℋ C))
49	48	cleqcomi 1105	1 ⊢ (B ∩ (A ∨ℋ C)) = ((B ∩ A) ∨ℋ (B ∩ C))

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   ∨_ℋ chj 4972  0_ℋc0h 4974   Com ccm 4975

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-shsum 5275  df-chj 5277  df-cm 5493

metamath.org