Theorem flgzt 4626

Description: The floor function value is the greatest integer less than or equal to its argument.

Assertion

Ref	Expression
flgzt	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℤ) → (B ≤ A ↔ B ≤ (floor ‘A)))

Proof of Theorem flgzt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flleltt 4625	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → ((floor ‘A) ≤ A ∧ A < ((floor ‘A) + 1)))
2	1	pm3.27d 262	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ → A < ((floor ‘A) + 1))
3	2	adantl 305	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → A < ((floor ‘A) + 1))
4		lelttrt 4289	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ ∧ ((floor ‘A) + 1) ∈ ℝ) → ((B ≤ A ∧ A < ((floor ‘A) + 1)) → B < ((floor ‘A) + 1)))
5	4	3expb 613	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ (A ∈ ℝ ∧ ((floor ‘A) + 1) ∈ ℝ)) → ((B ≤ A ∧ A < ((floor ‘A) + 1)) → B < ((floor ‘A) + 1)))
6		zret 4567	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ ℤ → B ∈ ℝ)
7		flclt 4624	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → (floor ‘A) ∈ ℤ)
8		zret 4567	. . . . . . . 8 ⊢ ((floor ‘A) ∈ ℤ → (floor ‘A) ∈ ℝ)
9		ax1re 4064	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		axaddrcl 4067	. . . . . . . . 9 ⊢ (((floor ‘A) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((floor ‘A) + 1) ∈ ℝ)
11	9, 10	mpan2 519	. . . . . . . 8 ⊢ ((floor ‘A) ∈ ℝ → ((floor ‘A) + 1) ∈ ℝ)
12	7, 8, 11	3syl 21	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → ((floor ‘A) + 1) ∈ ℝ)
13	12	ancli 244	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ → (A ∈ ℝ ∧ ((floor ‘A) + 1) ∈ ℝ))
14	5, 6, 13	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → ((B ≤ A ∧ A < ((floor ‘A) + 1)) → B < ((floor ‘A) + 1)))
15	3, 14	mpan2d 525	. . . 4 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → (B ≤ A → B < ((floor ‘A) + 1)))
16		zleltp1t 4598	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ (floor ‘A) ∈ ℤ) → (B ≤ (floor ‘A) ↔ B < ((floor ‘A) + 1)))
17	16, 7	sylan2 346	. . . 4 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → (B ≤ (floor ‘A) ↔ B < ((floor ‘A) + 1)))
18	15, 17	sylibrd 179	. . 3 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → (B ≤ A → B ≤ (floor ‘A)))
19	1	pm3.26d 258	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℝ → (floor ‘A) ≤ A)
20	19	adantl 305	. . . 4 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → (floor ‘A) ≤ A)
21		letrt 4291	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ (floor ‘A) ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → ((B ≤ (floor ‘A) ∧ (floor ‘A) ≤ A) → B ≤ A))
22	21	3expb 613	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ ((floor ‘A) ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ)) → ((B ≤ (floor ‘A) ∧ (floor ‘A) ≤ A) → B ≤ A))
23	7, 8	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ → (floor ‘A) ∈ ℝ)
24	23	ancri 245	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℝ → ((floor ‘A) ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ))
25	22, 6, 24	syl2an 349	. . . 4 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → ((B ≤ (floor ‘A) ∧ (floor ‘A) ≤ A) → B ≤ A))
26	20, 25	mpan2d 525	. . 3 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → (B ≤ (floor ‘A) → B ≤ A))
27	18, 26	impbid 397	. 2 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → (B ≤ A ↔ B ≤ (floor ‘A)))
28	27	ancoms 334	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℤ) → (B ≤ A ↔ B ≤ (floor ‘A)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   ≤ cle 4092  ℤcz 4095  floorcfl 4621

This theorem is referenced by:  flidt 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564  df-fl 4622

metamath.org