Theorem fnmap 3262

Description: Set exponentiation has a universal domain.

Assertion

Ref	Expression
fnmap	⊢ ↑m Fn (V × V)

Proof of Theorem fnmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . 3 ⊢ y ∈ V
2		visset 1350	. . 3 ⊢ x ∈ V
3		mapex 3261	. . 3 ⊢ ((y ∈ V ∧ x ∈ V) → {f∣f:y–→x} ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 520	. 2 ⊢ {f∣f:y–→x} ∈ V
5		df-map 3259	. . 3 ⊢ ↑m = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣z = {f∣f:y–→x}}
6	2, 1	pm3.2i 234	. . . . 5 ⊢ (x ∈ V ∧ y ∈ V)
7	6	biantrur 544	. . . 4 ⊢ (z = {f∣f:y–→x} ↔ ((x ∈ V ∧ y ∈ V) ∧ z = {f∣f:y–→x}))
8	7	bioprabi 3027	. . 3 ⊢ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣z = {f∣f:y–→x}} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ V ∧ y ∈ V) ∧ z = {f∣f:y–→x})}
9	5, 8	eqtr 1119	. 2 ⊢ ↑m = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ V ∧ y ∈ V) ∧ z = {f∣f:y–→x})}
10	4, 9	fnoprab2 3039	1 ⊢ ↑m Fn (V × V)

Syntax hints:   ∧ wa 196  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   × cxp 2408   Fn wfn 2417  –→wf 2418  {copab2 3002   ↑_m cm 3258

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-oprab 3004  df-map 3259

metamath.org