Theorem frc 2172

Description: Property of founded relation (one direction of definition using class variables).

Hypothesis

Ref	Expression
frc.1	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
frc	⊢ (R Fr A → ((B ⊆ A ∧ ¬ B = ∅) → ∃x ∈ B (B ∩ {y∣yRx}) = ∅))

Distinct variable group(s):   x,y,R   x,A,y   x,B,y

Proof of Theorem frc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffr2 2171	. 2 ⊢ (R Fr A ↔ ∀z((z ⊆ A ∧ ¬ z = ∅) → ∃x ∈ z (z ∩ {y∣yRx}) = ∅))
2		frc.1	. . 3 ⊢ B ∈ V
3		sseq1 1521	. . . . 5 ⊢ (z = B → (z ⊆ A ↔ B ⊆ A))
4		cleq1 1107	. . . . . 6 ⊢ (z = B → (z = ∅ ↔ B = ∅))
5	4	negbid 463	. . . . 5 ⊢ (z = B → (¬ z = ∅ ↔ ¬ B = ∅))
6	3, 5	anbi12d 476	. . . 4 ⊢ (z = B → ((z ⊆ A ∧ ¬ z = ∅) ↔ (B ⊆ A ∧ ¬ B = ∅)))
7		ineq1 1638	. . . . . 6 ⊢ (z = B → (z ∩ {y∣yRx}) = (B ∩ {y∣yRx}))
8	7	cleq1d 1109	. . . . 5 ⊢ (z = B → ((z ∩ {y∣yRx}) = ∅ ↔ (B ∩ {y∣yRx}) = ∅))
9	8	rexeqd 1328	. . . 4 ⊢ (z = B → (∃x ∈ z (z ∩ {y∣yRx}) = ∅ ↔ ∃x ∈ B (B ∩ {y∣yRx}) = ∅))
10	6, 9	imbi12d 474	. . 3 ⊢ (z = B → (((z ⊆ A ∧ ¬ z = ∅) → ∃x ∈ z (z ∩ {y∣yRx}) = ∅) ↔ ((B ⊆ A ∧ ¬ B = ∅) → ∃x ∈ B (B ∩ {y∣yRx}) = ∅)))
11	2, 10	cla4v 1400	. 2 ⊢ (∀z((z ⊆ A ∧ ¬ z = ∅) → ∃x ∈ z (z ∩ {y∣yRx}) = ∅) → ((B ⊆ A ∧ ¬ B = ∅) → ∃x ∈ B (B ∩ {y∣yRx}) = ∅))
12	1, 11	sylbi 174	1 ⊢ (R Fr A → ((B ⊆ A ∧ ¬ B = ∅) → ∃x ∈ B (B ∩ {y∣yRx}) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707   class class class wbr 2054   Fr wfr 2061

This theorem is referenced by:  frirr 2176  fr2nr 2177  fr3nr 2178  epfrc 2185

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-fr 2169

metamath.org