Theorem funcnv2 2702

Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 2703).

Assertion

Ref	Expression
funcnv2	⊢ (Fun ◡A ↔ ∀y∃*x xAy)

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem funcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffunmo 2679	. 2 ⊢ (Fun ◡A ↔ (Rel ◡A ∧ ∀y∃*x y◡Ax))
2		relcnv 2624	. . . 4 ⊢ Rel ◡A
3	2	biantrur 544	. . 3 ⊢ (∀y∃*x y◡Ax ↔ (Rel ◡A ∧ ∀y∃*x y◡Ax))
4		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
5		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
6	4, 5	brcnv 2519	. . . . 5 ⊢ (y◡Ax ↔ xAy)
7	6	bimo 1031	. . . 4 ⊢ (∃*x y◡Ax ↔ ∃*x xAy)
8	7	bial 695	. . 3 ⊢ (∀y∃*x y◡Ax ↔ ∀y∃*x xAy)
9	3, 8	bitr3 153	. 2 ⊢ ((Rel ◡A ∧ ∀y∃*x y◡Ax) ↔ ∀y∃*x xAy)
10	1, 9	bitr 151	1 ⊢ (Fun ◡A ↔ ∀y∃*x xAy)

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃*wmo 1008   class class class wbr 2054  ^◡ccnv 2409  Rel wrel 2415  Fun wfun 2416

This theorem is referenced by:  funcnv 2703  fun2cnv 2704

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-fun 2432

metamath.org