Theorem funeq 2683

Description: Equality theorem for function predicate.

Assertion

Ref	Expression
funeq	⊢ (A = B → (Fun A ↔ Fun B))

Proof of Theorem funeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funss 2682	. . . 4 ⊢ (B ⊆ A → (Fun A → Fun B))
2		funss 2682	. . . 4 ⊢ (A ⊆ B → (Fun B → Fun A))
3	1, 2	anim12i 268	. . 3 ⊢ ((B ⊆ A ∧ A ⊆ B) → ((Fun A → Fun B) ∧ (Fun B → Fun A)))
4	3	ancoms 334	. 2 ⊢ ((A ⊆ B ∧ B ⊆ A) → ((Fun A → Fun B) ∧ (Fun B → Fun A)))
5		eqss 1516	. 2 ⊢ (A = B ↔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A))
6		bi 396	. 2 ⊢ ((Fun A ↔ Fun B) ↔ ((Fun A → Fun B) ∧ (Fun B → Fun A)))
7	4, 5, 6	3imtr4 192	1 ⊢ (A = B → (Fun A ↔ Fun B))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ⊆ wss 1487  Fun wfun 2416

This theorem is referenced by:  fununi 2705  funcnvuni 2706  fneq1 2718  f1eq1 2776  f1cnv 2782  f1co 2783  f1oco 2816  f10 2822  f1oi 2825  tfrlem10 2958  tz7.44lem1 2965  tz7.48-2 2995  abianfp 3000  funoprab 3037  th3qcor 3252  ssdomg 3311  sbthlem7 3355  sbthlem8 3356  tz9.12lem2 3504  tz9.12lem3 3505  zornlem4 3606

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-fun 2432

metamath.org