Theorem funfv2 2863

Description: The value of a function. Definition of function value in [Enderton] p. 43.

Assertion

Ref	Expression
funfv2	⊢ (Fun F → (F ‘A) = ∪{y∣⟨A, y⟩ ∈ F})

Distinct variable group(s):   y,A   y,F

Proof of Theorem funfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfv 2862	. 2 ⊢ (Fun F → (F ‘A) = ∪(F “ {A}))
2		funrel 2681	. . . 4 ⊢ (Fun F → Rel F)
3		imasn 2616	. . . 4 ⊢ (Rel F → (F “ {A}) = {y∣⟨A, y⟩ ∈ F})
4	2, 3	syl 12	. . 3 ⊢ (Fun F → (F “ {A}) = {y∣⟨A, y⟩ ∈ F})
5	4	unieqd 1929	. 2 ⊢ (Fun F → ∪(F “ {A}) = ∪{y∣⟨A, y⟩ ∈ F})
6	1, 5	eqtrd 1128	1 ⊢ (Fun F → (F ‘A) = ∪{y∣⟨A, y⟩ ∈ F})

Syntax hints:   → wi 2  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  {csn 1808  ⟨cop 1810  ∪cuni 1919   “ cima 2413  Rel wrel 2415  Fun wfun 2416   ‘cfv 2422

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438

metamath.org