Theorem funi 2692

Description: The identity relation is a function.

Assertion

Ref	Expression
funi	⊢ Fun I

Proof of Theorem funi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 2500	. . 3 ⊢ Rel I
2		relcnv 2624	. . . . . 6 ⊢ Rel ◡I
3		coi2 2666	. . . . . 6 ⊢ (Rel ◡I → (I ∘ ◡I) = ◡I)
4	2, 3	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ (I ∘ ◡I) = ◡I
5		cnvi 2634	. . . . 5 ⊢ ◡I = I
6	4, 5	eqtr 1119	. . . 4 ⊢ (I ∘ ◡I) = I
7		ssid 1519	. . . 4 ⊢ I ⊆ I
8	6, 7	eqsstr 1530	. . 3 ⊢ (I ∘ ◡I) ⊆ I
9	1, 8	pm3.2i 234	. 2 ⊢ (Rel I ∧ (I ∘ ◡I) ⊆ I)
10		df-fun 2432	. 2 ⊢ (Fun I ↔ (Rel I ∧ (I ∘ ◡I) ⊆ I))
11	9, 10	mpbir 165	1 ⊢ Fun I

Syntax hints:   ∧ wa 196   = wceq 1091   ⊆ wss 1487  Icid 2057  ^◡ccnv 2409   ∘ ccom 2414  Rel wrel 2415  Fun wfun 2416

This theorem is referenced by:  fnresi 2737  f1oi 2825  fvi 2900  enrefg 3294  ssdomg 3311  fac0 4871  fac1 4872  facp1t 4873

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-fun 2432

metamath.org