Theorem funopabex 2742

Description: Existence of a function expressed as class of ordered pairs.

Hypotheses

Ref	Expression
funopabex.1	⊢ A ∈ V
funopabex.2	⊢ (x ∈ A → ∃*yφ)

Assertion

Ref	Expression
funopabex	⊢ {⟨x, y⟩∣(x ∈ A ∧ φ)} ∈ V

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem funopabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funopabex.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
2		dmopabss 2540	. . 3 ⊢ dom {⟨x, y⟩∣(x ∈ A ∧ φ)} ⊆ A
3	1, 2	ssexi 1701	. 2 ⊢ dom {⟨x, y⟩∣(x ∈ A ∧ φ)} ∈ V
4		funopab 2694	. . 3 ⊢ (Fun {⟨x, y⟩∣(x ∈ A ∧ φ)} ↔ ∀x∃*y(x ∈ A ∧ φ))
5		funopabex.2	. . . 4 ⊢ (x ∈ A → ∃*yφ)
6		moanimv 1052	. . . 4 ⊢ (∃*y(x ∈ A ∧ φ) ↔ (x ∈ A → ∃*yφ))
7	5, 6	mpbir 165	. . 3 ⊢ ∃*y(x ∈ A ∧ φ)
8	4, 7	mpgbir 686	. 2 ⊢ Fun {⟨x, y⟩∣(x ∈ A ∧ φ)}
9		funex 2741	. 2 ⊢ (dom {⟨x, y⟩∣(x ∈ A ∧ φ)} ∈ V → (Fun {⟨x, y⟩∣(x ∈ A ∧ φ)} → {⟨x, y⟩∣(x ∈ A ∧ φ)} ∈ V))
10	3, 8, 9	mp2 43	1 ⊢ {⟨x, y⟩∣(x ∈ A ∧ φ)} ∈ V

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∃*wmo 1008   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  {copab 2055  dom cdm 2410  Fun wfun 2416

This theorem is referenced by:  pw2en 3348  mapxpen 3390  xpmapenlem2 3392  xpmapenlem4 3394  xpmapenlem5 3395  aceq4 3557  aceq6a 3564  seqval 4665  occllem6 5185  occllem7 5186  projlem25 5217  projlem26 5218  projlem31 5223  pjmvalt 5245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433

metamath.org