Theorem funssfv 2841

Description: The value of a member of the domain of a subclass of a function.

Assertion

Ref	Expression
funssfv	⊢ (((Fun F ∧ G ⊆ F) ∧ A ∈ dom G) → (F ‘A) = (G ‘A))

Proof of Theorem funssfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funssres 2698	. . . . 5 ⊢ ((Fun F ∧ G ⊆ F) → (F ↾ dom G) = G)
2	1	fveq1d 2834	. . . 4 ⊢ ((Fun F ∧ G ⊆ F) → ((F ↾ dom G) ‘A) = (G ‘A))
3	2	cleqcomd 1106	. . 3 ⊢ ((Fun F ∧ G ⊆ F) → (G ‘A) = ((F ↾ dom G) ‘A))
4		fvres 2840	. . 3 ⊢ (A ∈ dom G → ((F ↾ dom G) ‘A) = (F ‘A))
5	3, 4	sylan9eq 1144	. 2 ⊢ (((Fun F ∧ G ⊆ F) ∧ A ∈ dom G) → (G ‘A) = (F ‘A))
6	5	cleqcomd 1106	1 ⊢ (((Fun F ∧ G ⊆ F) ∧ A ∈ dom G) → (F ‘A) = (G ‘A))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  dom cdm 2410   ↾ cres 2412  Fun wfun 2416   ‘cfv 2422

This theorem is referenced by:  tfrlem9 2957  tfrlem11 2959

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438

metamath.org