Theorem fv3 2839

Description: Alternate definition of the value of a function. Definition 6.11 of [TakeutiZaring] p. 26.

Hypothesis

Ref	Expression
fv3.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fv3	⊢ (F ‘A) = {x∣(∃y(x ∈ y ∧ AFy) ∧ ∃!y AFy)}

Distinct variable group(s):   x,y,F   x,A,y

Proof of Theorem fv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fv3.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
2	1	elfv 2830	. . 3 ⊢ (x ∈ (F ‘A) ↔ ∃z(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z)))
3		bi2 131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((AFy ↔ y = z) → (y = z → AFy))
4	3	19.20i 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀y(AFy ↔ y = z) → ∀y(y = z → AFy))
5		visset 1350	. . . . . . . . . 10 ⊢ z ∈ V
6		breq2 2066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = z → (AFy ↔ AFz))
7	5, 6	ceqsalv 1364	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀y(y = z → AFy) ↔ AFz)
8	4, 7	sylib 173	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y(AFy ↔ y = z) → AFz)
9	8	anim2i 270	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z)) → (x ∈ z ∧ AFz))
10	9	19.22i 723	. . . . . 6 ⊢ (∃z(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z)) → ∃z(x ∈ z ∧ AFz))
11		eleq2 1150	. . . . . . . 8 ⊢ (z = y → (x ∈ z ↔ x ∈ y))
12		breq2 2066	. . . . . . . 8 ⊢ (z = y → (AFz ↔ AFy))
13	11, 12	anbi12d 476	. . . . . . 7 ⊢ (z = y → ((x ∈ z ∧ AFz) ↔ (x ∈ y ∧ AFy)))
14	13	cbvexv 973	. . . . . 6 ⊢ (∃z(x ∈ z ∧ AFz) ↔ ∃y(x ∈ y ∧ AFy))
15	10, 14	sylib 173	. . . . 5 ⊢ (∃z(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z)) → ∃y(x ∈ y ∧ AFy))
16		19.40 773	. . . . . . 7 ⊢ (∃z(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z)) → (∃z x ∈ z ∧ ∃z∀y(AFy ↔ y = z)))
17	16	pm3.27d 262	. . . . . 6 ⊢ (∃z(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z)) → ∃z∀y(AFy ↔ y = z))
18		df-eu 1009	. . . . . 6 ⊢ (∃!y AFy ↔ ∃z∀y(AFy ↔ y = z))
19	17, 18	sylibr 175	. . . . 5 ⊢ (∃z(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z)) → ∃!y AFy)
20	15, 19	jca 236	. . . 4 ⊢ (∃z(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z)) → (∃y(x ∈ y ∧ AFy) ∧ ∃!y AFy))
21		hbeu1 1015	. . . . . . 7 ⊢ (∃!y AFy → ∀y∃!y AFy)
22		ax-17 925	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ z → ∀y x ∈ z)
23		hba1 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀y(AFy ↔ y = z) → ∀y∀y(AFy ↔ y = z))
24	22, 23	hban 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z)) → ∀y(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z)))
25	24	hbex 701	. . . . . . 7 ⊢ (∃z(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z)) → ∀y∃z(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z)))
26	21, 25	hbim 702	. . . . . 6 ⊢ ((∃!y AFy → ∃z(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z))) → ∀y(∃!y AFy → ∃z(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z))))
27		bi1 130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((AFy ↔ y = z) → (AFy → y = z))
28		ax-14 805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = z → (x ∈ y → x ∈ z))
29	27, 28	syl6 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((AFy ↔ y = z) → (AFy → (x ∈ y → x ∈ z)))
30	29	com23 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((AFy ↔ y = z) → (x ∈ y → (AFy → x ∈ z)))
31	30	imp3a 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((AFy ↔ y = z) → ((x ∈ y ∧ AFy) → x ∈ z))
32	31	a4s 682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀y(AFy ↔ y = z) → ((x ∈ y ∧ AFy) → x ∈ z))
33	32	anc2ri 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀y(AFy ↔ y = z) → ((x ∈ y ∧ AFy) → (x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z))))
34	33	com12 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ y ∧ AFy) → (∀y(AFy ↔ y = z) → (x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z))))
35	34	19.22dv 947	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ y ∧ AFy) → (∃z∀y(AFy ↔ y = z) → ∃z(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z))))
36	35, 18	syl5ib 181	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ y ∧ AFy) → (∃!y AFy → ∃z(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z))))
37	26, 36	19.23ai 746	. . . . 5 ⊢ (∃y(x ∈ y ∧ AFy) → (∃!y AFy → ∃z(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z))))
38	37	imp 277	. . . 4 ⊢ ((∃y(x ∈ y ∧ AFy) ∧ ∃!y AFy) → ∃z(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z)))
39	20, 38	impbi 139	. . 3 ⊢ (∃z(x ∈ z ∧ ∀y(AFy ↔ y = z)) ↔ (∃y(x ∈ y ∧ AFy) ∧ ∃!y AFy))
40	2, 39	bitr 151	. 2 ⊢ (x ∈ (F ‘A) ↔ (∃y(x ∈ y ∧ AFy) ∧ ∃!y AFy))
41	40	biabri 1180	1 ⊢ (F ‘A) = {x∣(∃y(x ∈ y ∧ AFy) ∧ ∃!y AFy)}

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803  ∃!weu 1007  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422

This theorem is referenced by:  tz6.12-1 2842  tz6.12-2 2845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438

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