Theorem fvclex 2908

Description: Existence of the class of values of a set.

Hypothesis

Ref	Expression
fvclex.1	⊢ F ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvclex	⊢ {y∣∃x y = (F ‘x)} ∈ V

Distinct variable group(s):   x,y,F

Proof of Theorem fvclex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvclex.1	. . . 4 ⊢ F ∈ V
2		rnexg 2569	. . . 4 ⊢ (F ∈ V → ran F ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ran F ∈ V
4		p0ex 1885	. . 3 ⊢ {∅} ∈ V
5	3, 4	unex 1949	. 2 ⊢ (ran F ∪ {∅}) ∈ V
6		fvclss 2907	. 2 ⊢ {y∣∃x y = (F ‘x)} ⊆ (ran F ∪ {∅})
7	5, 6	ssexi 1701	1 ⊢ {y∣∃x y = (F ‘x)} ∈ V

Syntax hints:  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∪ cun 1485  ∅c0 1707  {csn 1808  ran crn 2411   ‘cfv 2422

This theorem is referenced by:  fvresex 2909

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438

metamath.org