Theorem fvco 2865

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
fvco	⊢ (((Fun F ∧ Fun G) ∧ A ∈ dom G) → ((F ∘ G) ‘A) = (F ‘(G ‘A)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfco 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun G ∧ A ∈ dom G) → (A ∈ dom (F ∘ G) ↔ (G ‘A) ∈ dom F))
2	1	anbi2d 468	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun G ∧ A ∈ dom G) → ((Fun F ∧ A ∈ dom (F ∘ G)) ↔ (Fun F ∧ (G ‘A) ∈ dom F)))
3		fvex 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (F ‘(G ‘A)) ∈ V
4		opelcog 2511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ dom G ∧ (F ‘(G ‘A)) ∈ V) → (⟨A, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ (F ∘ G) ↔ ∃z(⟨A, z⟩ ∈ G ∧ ⟨z, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ F)))
5	3, 4	mpan2 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ dom G → (⟨A, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ (F ∘ G) ↔ ∃z(⟨A, z⟩ ∈ G ∧ ⟨z, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ F)))
6	5	adantl 305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun G ∧ A ∈ dom G) → (⟨A, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ (F ∘ G) ↔ ∃z(⟨A, z⟩ ∈ G ∧ ⟨z, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ F)))
7		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ z ∈ V
8	7	funfvop 2857	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun G ∧ A ∈ dom G) → ((G ‘A) = z ↔ ⟨A, z⟩ ∈ G))
9		cleqcom 1103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z = (G ‘A) ↔ (G ‘A) = z)
10	8, 9	syl5bb 410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun G ∧ A ∈ dom G) → (z = (G ‘A) ↔ ⟨A, z⟩ ∈ G))
11	10	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun G ∧ A ∈ dom G) → ((z = (G ‘A) ∧ ⟨z, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ F) ↔ (⟨A, z⟩ ∈ G ∧ ⟨z, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ F)))
12	11	biexdv 936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun G ∧ A ∈ dom G) → (∃z(z = (G ‘A) ∧ ⟨z, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ F) ↔ ∃z(⟨A, z⟩ ∈ G ∧ ⟨z, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ F)))
13		fvex 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (G ‘A) ∈ V
14		opeq1 1876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z = (G ‘A) → ⟨z, (F ‘(G ‘A))⟩ = ⟨(G ‘A), (F ‘(G ‘A))⟩)
15	14	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z = (G ‘A) → (⟨z, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ F ↔ ⟨(G ‘A), (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ F))
16	13, 15	ceqsexv 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃z(z = (G ‘A) ∧ ⟨z, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ F) ↔ ⟨(G ‘A), (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ F)
17	12, 16	syl5bbr 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun G ∧ A ∈ dom G) → (⟨(G ‘A), (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ F ↔ ∃z(⟨A, z⟩ ∈ G ∧ ⟨z, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ F)))
18	6, 17	bitr4d 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun G ∧ A ∈ dom G) → (⟨A, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ (F ∘ G) ↔ ⟨(G ‘A), (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ F))
19		cleqid 1102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (F ‘(G ‘A)) = (F ‘(G ‘A))
20	3	funfvop 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun F ∧ (G ‘A) ∈ dom F) → ((F ‘(G ‘A)) = (F ‘(G ‘A)) ↔ ⟨(G ‘A), (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ F))
21	19, 20	mpbii 168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun F ∧ (G ‘A) ∈ dom F) → ⟨(G ‘A), (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ F)
22	18, 21	syl5bir 184	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun G ∧ A ∈ dom G) → ((Fun F ∧ (G ‘A) ∈ dom F) → ⟨A, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ (F ∘ G)))
23	2, 22	sylbid 178	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun G ∧ A ∈ dom G) → ((Fun F ∧ A ∈ dom (F ∘ G)) → ⟨A, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ (F ∘ G)))
24	23	exp4b 296	. . . . . 6 ⊢ (Fun G → (A ∈ dom G → (Fun F → (A ∈ dom (F ∘ G) → ⟨A, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ (F ∘ G)))))
25	24	com3r 35	. . . . 5 ⊢ (Fun F → (Fun G → (A ∈ dom G → (A ∈ dom (F ∘ G) → ⟨A, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ (F ∘ G)))))
26	25	imp41 286	. . . 4 ⊢ ((((Fun F ∧ Fun G) ∧ A ∈ dom G) ∧ A ∈ dom (F ∘ G)) → ⟨A, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ (F ∘ G))
27	3	funfvop 2857	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (F ∘ G) ∧ A ∈ dom (F ∘ G)) → (((F ∘ G) ‘A) = (F ‘(G ‘A)) ↔ ⟨A, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ (F ∘ G)))
28		funco 2696	. . . . . 6 ⊢ ((Fun F ∧ Fun G) → Fun (F ∘ G))
29	27, 28	sylan 343	. . . . 5 ⊢ (((Fun F ∧ Fun G) ∧ A ∈ dom (F ∘ G)) → (((F ∘ G) ‘A) = (F ‘(G ‘A)) ↔ ⟨A, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ (F ∘ G)))
30	29	adantlr 310	. . . 4 ⊢ ((((Fun F ∧ Fun G) ∧ A ∈ dom G) ∧ A ∈ dom (F ∘ G)) → (((F ∘ G) ‘A) = (F ‘(G ‘A)) ↔ ⟨A, (F ‘(G ‘A))⟩ ∈ (F ∘ G)))
31	26, 30	mpbird 171	. . 3 ⊢ ((((Fun F ∧ Fun G) ∧ A ∈ dom G) ∧ A ∈ dom (F ∘ G)) → ((F ∘ G) ‘A) = (F ‘(G ‘A)))
32	31	exp 291	. 2 ⊢ (((Fun F ∧ Fun G) ∧ A ∈ dom G) → (A ∈ dom (F ∘ G) → ((F ∘ G) ‘A) = (F ‘(G ‘A))))
33		ndmfv 2848	. . . . . 6 ⊢ (¬ A ∈ dom (F ∘ G) → ((F ∘ G) ‘A) = ∅)
34	33	adantl 305	. . . . 5 ⊢ (((Fun G ∧ A ∈ dom G) ∧ ¬ A ∈ dom (F ∘ G)) → ((F ∘ G) ‘A) = ∅)
35	1	negbid 463	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun G ∧ A ∈ dom G) → (¬ A ∈ dom (F ∘ G) ↔ ¬ (G ‘A) ∈ dom F))
36		ndmfv 2848	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (G ‘A) ∈ dom F → (F ‘(G ‘A)) = ∅)
37	35, 36	syl6bi 187	. . . . . 6 ⊢ ((Fun G ∧ A ∈ dom G) → (¬ A ∈ dom (F ∘ G) → (F ‘(G ‘A)) = ∅))
38	37	imp 277	. . . . 5 ⊢ (((Fun G ∧ A ∈ dom G) ∧ ¬ A ∈ dom (F ∘ G)) → (F ‘(G ‘A)) = ∅)
39	34, 38	eqtr4d 1131	. . . 4 ⊢ (((Fun G ∧ A ∈ dom G) ∧ ¬ A ∈ dom (F ∘ G)) → ((F ∘ G) ‘A) = (F ‘(G ‘A)))
40	39	exp 291	. . 3 ⊢ ((Fun G ∧ A ∈ dom G) → (¬ A ∈ dom (F ∘ G) → ((F ∘ G) ‘A) = (F ‘(G ‘A))))
41	40	adantll 309	. 2 ⊢ (((Fun F ∧ Fun G) ∧ A ∈ dom G) → (¬ A ∈ dom (F ∘ G) → ((F ∘ G) ‘A) = (F ‘(G ‘A))))
42	32, 41	pm2.61d 112	1 ⊢ (((Fun F ∧ Fun G) ∧ A ∈ dom G) → ((F ∘ G) ‘A) = (F ‘(G ‘A)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ∅c0 1707  ⟨cop 1810  dom cdm 2410   ∘ ccom 2414  Fun wfun 2416   ‘cfv 2422

This theorem is referenced by:  fvco2 2866  ac6lem 3575  uzrdgval 4657  hoco 5598

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438

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