Theorem fvco3 2867

Description: Value of a function composition.

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ (((Fun F ∧ G:A–→B) ∧ C ∈ A) → ((F ∘ G) ‘C) = (F ‘(G ‘C)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvco2 2866	. 2 ⊢ (((Fun F ∧ G Fn A) ∧ C ∈ A) → ((F ∘ G) ‘C) = (F ‘(G ‘C)))
2		ffn 2752	. 2 ⊢ (G:A–→B → G Fn A)
3	1, 2	sylan12 355	1 ⊢ (((Fun F ∧ G:A–→B) ∧ C ∈ A) → ((F ∘ G) ‘C) = (F ‘(G ‘C)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∘ ccom 2414  Fun wfun 2416   Fn wfn 2417  –→wf 2418   ‘cfv 2422

This theorem is referenced by:  f1ocnvfv1 2919  f1ocnvfv2 2920  isotr 2935  isotrALT 2936  mapenlem1 3384

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438

metamath.org