Theorem fveq1 2831

Description: Equality theorem for function value.

Assertion

Ref	Expression
fveq1	⊢ (F = G → (F ‘A) = (G ‘A))

Proof of Theorem fveq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaeq1 2602	. . . . 5 ⊢ (F = G → (F “ {A}) = (G “ {A}))
2	1	cleq1d 1109	. . . 4 ⊢ (F = G → ((F “ {A}) = {x} ↔ (G “ {A}) = {x}))
3	2	biabdv 1183	. . 3 ⊢ (F = G → {x∣(F “ {A}) = {x}} = {x∣(G “ {A}) = {x}})
4	3	unieqd 1929	. 2 ⊢ (F = G → ∪{x∣(F “ {A}) = {x}} = ∪{x∣(G “ {A}) = {x}})
5		df-fv 2438	. 2 ⊢ (F ‘A) = ∪{x∣(F “ {A}) = {x}}
6		df-fv 2438	. 2 ⊢ (G ‘A) = ∪{x∣(G “ {A}) = {x}}
7	4, 5, 6	3eqtr4g 1147	1 ⊢ (F = G → (F ‘A) = (G ‘A))

Syntax hints:   → wi 2  {cab 1090   = wceq 1091  {csn 1808  ∪cuni 1919   “ cima 2413   ‘cfv 2422

This theorem is referenced by:  fveq1i 2833  fveq1d 2834  cleqfv 2880  isoeq1 2925  tfrlem3 2951  tfrlem12 2960  tz7.44-2 2967  rdgeq1 2972  rdglem2 2976  opreq 3005  omv 3120  oev 3122  mapsnen 3334  mapenlem2 3385  mapxpen 3390  aceq4 3557  aceq5lem5 3562  aceq6a 3564  ac6lem 3575  seqval 4665  clim 4877  clim2 4881  hcauchy 5103  hlim 5108  hlim2 5112  hosmvalt 5487  hodmvalt 5488  pjss2co 5634  pjclem4 5653  pj3s 5659  pj3cor1 5661  stelt 5671  str 5698

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438

metamath.org