Theorem fvopab 2877

Description: The value of a function given by ordered pair abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fvopab.1	⊢ A ∈ V
fvopab.2	⊢ C ∈ V
fvopab.3	⊢ (x = A → B = C)

Assertion

Ref	Expression
fvopab	⊢ ({⟨x, y⟩∣y = B} ‘A) = C

Distinct variable group(s):   x,A   y,B   x,C   x,y

Proof of Theorem fvopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 925	. 2 ⊢ (z ∈ A → ∀x z ∈ A)
2		ax-17 925	. 2 ⊢ (z ∈ C → ∀x z ∈ C)
3		fvopab.1	. 2 ⊢ A ∈ V
4		fvopab.2	. 2 ⊢ C ∈ V
5		fvopab.3	. 2 ⊢ (x = A → B = C)
6	1, 2, 3, 4, 5	fvopabf 2876	1 ⊢ ({⟨x, y⟩∣y = B} ‘A) = C

Syntax hints:   → wi 2   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  {copab 2055   ‘cfv 2422

This theorem is referenced by:  fvresex 2909  oasuc 3131  omsuc 3133  oesuc 3134  inf3lema 3460  rankval 3512  numthlem 3598  zornlem1 3603  seqrval 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438

metamath.org