Theorem fvopab4 2871

Description: Value of a function given by ordered pair abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fvopab4g.1	⊢ (x = A → B = C)
fvopab4g.2	⊢ F = {⟨x, y⟩∣(x ∈ D ∧ y = B)}
fvopab4.3	⊢ C ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvopab4	⊢ (A ∈ D → (F ‘A) = C)

Distinct variable group(s):   x,y,A   y,B   x,C,y   x,D,y

Proof of Theorem fvopab4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvopab4.3	. 2 ⊢ C ∈ V
2		fvopab4g.1	. . 3 ⊢ (x = A → B = C)
3		fvopab4g.2	. . 3 ⊢ F = {⟨x, y⟩∣(x ∈ D ∧ y = B)}
4	2, 3	fvopab4g 2870	. 2 ⊢ ((A ∈ D ∧ C ∈ V) → (F ‘A) = C)
5	1, 4	mpan2 519	1 ⊢ (A ∈ D → (F ‘A) = C)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  {copab 2055   ‘cfv 2422

This theorem is referenced by:  mapenlem1 3384  mapenlem2 3385  unfilem2 3439  aceq3lem 3555  aceq4 3557  aceq6a 3564  flvalt 4623  seqval2 4667  sqrval 4729  revalt 4794  imvalt 4795  cjvalt 4799  absvalt 4801  normvalt 5075  ocvalt 5161  occllem3 5182  projlem23 5215  pjmvalt 5245  hosvalt 5489  hodvalt 5490  strlem2 5692

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438

metamath.org