Theorem fvopabf 2876

Description: The value of a function given by ordered pair abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fvopabf.1	⊢ (z ∈ A → ∀x z ∈ A)
fvopabf.2	⊢ (z ∈ C → ∀x z ∈ C)
fvopabf.3	⊢ A ∈ V
fvopabf.4	⊢ C ∈ V
fvopabf.5	⊢ (x = A → B = C)

Assertion

Ref	Expression
fvopabf	⊢ ({⟨x, y⟩∣y = B} ‘A) = C

Distinct variable group(s):   z,A   y,B   z,C   x,y   x,z

Proof of Theorem fvopabf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvopabf.3	. 2 ⊢ A ∈ V
2		fvopabf.4	. 2 ⊢ C ∈ V
3		fvopabf.1	. . 3 ⊢ (z ∈ A → ∀x z ∈ A)
4		fvopabf.2	. . 3 ⊢ (z ∈ C → ∀x z ∈ C)
5		fvopabf.5	. . 3 ⊢ (x = A → B = C)
6	3, 4, 5	fvopabgf 2874	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ C ∈ V) → ({⟨x, y⟩∣y = B} ‘A) = C)
7	1, 2, 6	mp2an 520	1 ⊢ ({⟨x, y⟩∣y = B} ‘A) = C

Syntax hints:   → wi 2  ∀wal 672   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  {copab 2055   ‘cfv 2422

This theorem is referenced by:  fvopab 2877  seqlem1 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438

metamath.org