Theorem genpcl 3905

Description: Closure of an operation on reals.

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ F = {⟨⟨w, v⟩, u⟩∣((w ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ u = {x∣∃y ∈ w ∃z ∈ v x = (yGz)})}
genpcl.2	⊢ ((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) → (xGy) ∈ Q)
genpcl.3	⊢ (h ∈ Q → (f <Q g ↔ (hGf) <Q (hGg)))
genpcl.4	⊢ (xGy) = (yGx)
genpcl.5	⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) ∧ x ∈ Q) → (x <Q (gGh) → x ∈ (AFB)))

Assertion

Ref	Expression
genpcl	⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (AFB) ∈ P)

Distinct variable group(s):   x,y,z,f,g,h,A   x,B,y,z,f,g,h,w,v   x,u,G   y,w,v,u,G,z,f,g,h   f,F,g   w,A,v   w,B,v   x,F,y,w,v,h

Proof of Theorem genpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . . . 5 ⊢ F = {⟨⟨w, v⟩, u⟩∣((w ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ u = {x∣∃y ∈ w ∃z ∈ v x = (yGz)})}
2	1	genpn0 3900	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ∅ ⊂ (AFB))
3		genpcl.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) → (xGy) ∈ Q)
4	3	caoprcl 3066	. . . . . . 7 ⊢ ((g ∈ Q ∧ h ∈ Q) → (gGh) ∈ Q)
5	1, 4	genpss 3901	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (AFB) ⊆ Q)
6	3	caoprcl 3066	. . . . . . 7 ⊢ ((w ∈ Q ∧ v ∈ Q) → (wGv) ∈ Q)
7		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ x ∈ V
8		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ y ∈ V
9		genpcl.3	. . . . . . . 8 ⊢ (h ∈ Q → (f <Q g ↔ (hGf) <Q (hGg)))
10	7, 8, 9	caoprord 3070	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ Q → (x <Q y ↔ (zGx) <Q (zGy)))
11		genpcl.4	. . . . . . 7 ⊢ (xGy) = (yGx)
12	1, 6, 10, 11	genpnnp 3902	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ¬ (AFB) = Q)
13	5, 12	jca 236	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((AFB) ⊆ Q ∧ ¬ (AFB) = Q))
14		dfpss2 1557	. . . . 5 ⊢ ((AFB) ⊂ Q ↔ ((AFB) ⊆ Q ∧ ¬ (AFB) = Q))
15	13, 14	sylibr 175	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (AFB) ⊂ Q)
16	2, 15	jca 236	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (∅ ⊂ (AFB) ∧ (AFB) ⊂ Q))
17		genpcl.5	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) ∧ x ∈ Q) → (x <Q (gGh) → x ∈ (AFB)))
18	1, 17	genpcd 3903	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (f ∈ (AFB) → (x <Q f → x ∈ (AFB))))
19	18	19.21adv 945	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (f ∈ (AFB) → ∀x(x <Q f → x ∈ (AFB))))
20		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ z ∈ V
21		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ w ∈ V
22	20, 21, 9	caoprord 3070	. . . . . . 7 ⊢ (v ∈ Q → (z <Q w ↔ (vGz) <Q (vGw)))
23	20, 21, 11	caoprcom 3067	. . . . . . 7 ⊢ (zGw) = (wGz)
24	1, 22, 23	genpnmax 3904	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (f ∈ (AFB) → ∃x(x ∈ (AFB) ∧ f <Q x)))
25		df-rex 1206	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ (AFB)f <Q x ↔ ∃x(x ∈ (AFB) ∧ f <Q x))
26	24, 25	syl6ibr 186	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (f ∈ (AFB) → ∃x ∈ (AFB)f <Q x))
27	19, 26	jcad 455	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (f ∈ (AFB) → (∀x(x <Q f → x ∈ (AFB)) ∧ ∃x ∈ (AFB)f <Q x)))
28	27	r19.21aiv 1259	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ∀f ∈ (AFB)(∀x(x <Q f → x ∈ (AFB)) ∧ ∃x ∈ (AFB)f <Q x))
29	16, 28	jca 236	. 2 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((∅ ⊂ (AFB) ∧ (AFB) ⊂ Q) ∧ ∀f ∈ (AFB)(∀x(x <Q f → x ∈ (AFB)) ∧ ∃x ∈ (AFB)f <Q x)))
30		elnp 3886	. 2 ⊢ ((AFB) ∈ P ↔ ((∅ ⊂ (AFB) ∧ (AFB) ⊂ Q) ∧ ∀f ∈ (AFB)(∀x(x <Q f → x ∈ (AFB)) ∧ ∃x ∈ (AFB)f <Q x)))
31	29, 30	sylibr 175	1 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (AFB) ∈ P)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  {copab2 3002  Qcnq 3773   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  addclpr 3914  mulclpr 3916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-lti 3797  df-enq 3831  df-nq 3832  df-ltq 3836  df-np 3880

metamath.org