Theorem genpelv 3897

Description: Membership in value of general operation (addition or multiplication) on positive reals.

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ F = {⟨⟨w, v⟩, u⟩∣((w ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ u = {x∣∃y ∈ w ∃z ∈ v x = (yGz)})}
genpelv.2	⊢ C ∈ V

Assertion

Ref	Expression
genpelv	⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (C ∈ (AFB) ↔ ∃f∃g((f ∈ A ∧ g ∈ B) ∧ C = (fGg))))

Distinct variable group(s):   x,y,z,f,g,A   x,B,y,z,f,g   x,w,v,u,G,y,z,f,g   f,F,g   C,f,g

Proof of Theorem genpelv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . . 4 ⊢ F = {⟨⟨w, v⟩, u⟩∣((w ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ u = {x∣∃y ∈ w ∃z ∈ v x = (yGz)})}
2	1	genpv 3896	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (AFB) = {h∣∃f∃g((f ∈ A ∧ g ∈ B) ∧ h = (fGg))})
3	2	eleq2d 1156	. 2 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (C ∈ (AFB) ↔ C ∈ {h∣∃f∃g((f ∈ A ∧ g ∈ B) ∧ h = (fGg))}))
4		genpelv.2	. . 3 ⊢ C ∈ V
5		cleq1 1107	. . . . 5 ⊢ (h = C → (h = (fGg) ↔ C = (fGg)))
6	5	anbi2d 468	. . . 4 ⊢ (h = C → (((f ∈ A ∧ g ∈ B) ∧ h = (fGg)) ↔ ((f ∈ A ∧ g ∈ B) ∧ C = (fGg))))
7	6	bi2exdv 938	. . 3 ⊢ (h = C → (∃f∃g((f ∈ A ∧ g ∈ B) ∧ h = (fGg)) ↔ ∃f∃g((f ∈ A ∧ g ∈ B) ∧ C = (fGg))))
8	4, 7	elab 1415	. 2 ⊢ (C ∈ {h∣∃f∃g((f ∈ A ∧ g ∈ B) ∧ h = (fGg))} ↔ ∃f∃g((f ∈ A ∧ g ∈ B) ∧ C = (fGg)))
9	3, 8	syl6bb 414	1 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (C ∈ (AFB) ↔ ∃f∃g((f ∈ A ∧ g ∈ B) ∧ C = (fGg))))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  Vcvv 1348  (class class class)co 3001  {copab2 3002  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  genpcd 3903  genpass 3906  distrlem1pr 3921  distrlem5pr 3925  1idpr 3927  ltexprlem6 3941  reclem3pr 3952  reclem4pr 3953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004

metamath.org