Theorem genpnmax 3904

Description: An operation on positive reals has no largest member.

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ F = {⟨⟨w, v⟩, u⟩∣((w ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ u = {x∣∃y ∈ w ∃z ∈ v x = (yGz)})}
genpnmax.2	⊢ (v ∈ Q → (z <Q w ↔ (vGz) <Q (vGw)))
genpnmax.3	⊢ (zGw) = (wGz)

Assertion

Ref	Expression
genpnmax	⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (f ∈ (AFB) → ∃x(x ∈ (AFB) ∧ f <Q x)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,f,A   x,B,y,z,f   x,w,v,u,G,y,z,f   f,F,x,y

Proof of Theorem genpnmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . . 4 ⊢ F = {⟨⟨w, v⟩, u⟩∣((w ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ u = {x∣∃y ∈ w ∃z ∈ v x = (yGz)})}
2	1	genpv 3896	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (AFB) = {f∣∃g∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ f = (gGh))})
3	2	cleqabd 1178	. 2 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (f ∈ (AFB) ↔ ∃g∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ f = (gGh))))
4		breq1 2065	. . . . . . . . 9 ⊢ (f = (gGh) → (f <Q x ↔ (gGh) <Q x))
5	4	anbi2d 468	. . . . . . . 8 ⊢ (f = (gGh) → ((x ∈ (AFB) ∧ f <Q x) ↔ (x ∈ (AFB) ∧ (gGh) <Q x)))
6	5	biexdv 936	. . . . . . 7 ⊢ (f = (gGh) → (∃x(x ∈ (AFB) ∧ f <Q x) ↔ ∃x(x ∈ (AFB) ∧ (gGh) <Q x)))
7		prnmax 3893	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ P ∧ g ∈ A) → ∃y(y ∈ A ∧ g <Q y))
8	7	adantr 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) → ∃y(y ∈ A ∧ g <Q y))
9	1	genpprecl 3898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((y ∈ A ∧ h ∈ B) → (yGh) ∈ (AFB)))
10	9	exp4b 296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A ∈ P → (B ∈ P → (y ∈ A → (h ∈ B → (yGh) ∈ (AFB)))))
11	10	com34 36	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∈ P → (B ∈ P → (h ∈ B → (y ∈ A → (yGh) ∈ (AFB)))))
12	11	imp32 281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ P ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) → (y ∈ A → (yGh) ∈ (AFB)))
13		elprpq 3889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((B ∈ P ∧ h ∈ B) → h ∈ Q)
14		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ g ∈ V
15		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ y ∈ V
16		genpnmax.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (v ∈ Q → (z <Q w ↔ (vGz) <Q (vGw)))
17		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ h ∈ V
18		genpnmax.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (zGw) = (wGz)
19	14, 15, 16, 17, 18	caoprord2 3071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (h ∈ Q → (g <Q y ↔ (gGh) <Q (yGh)))
20	19	biimpd 135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (h ∈ Q → (g <Q y → (gGh) <Q (yGh)))
21	13, 20	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((B ∈ P ∧ h ∈ B) → (g <Q y → (gGh) <Q (yGh)))
22	21	adantl 305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ P ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) → (g <Q y → (gGh) <Q (yGh)))
23	12, 22	anim12d 431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ P ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) → ((y ∈ A ∧ g <Q y) → ((yGh) ∈ (AFB) ∧ (gGh) <Q (yGh))))
24		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (yGh) ∈ V
25		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = (yGh) → (x ∈ (AFB) ↔ (yGh) ∈ (AFB)))
26		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = (yGh) → ((gGh) <Q x ↔ (gGh) <Q (yGh)))
27	25, 26	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = (yGh) → ((x ∈ (AFB) ∧ (gGh) <Q x) ↔ ((yGh) ∈ (AFB) ∧ (gGh) <Q (yGh))))
28	24, 27	cla4ev 1401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((yGh) ∈ (AFB) ∧ (gGh) <Q (yGh)) → ∃x(x ∈ (AFB) ∧ (gGh) <Q x))
29	23, 28	syl6 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ P ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) → ((y ∈ A ∧ g <Q y) → ∃x(x ∈ (AFB) ∧ (gGh) <Q x)))
30	29	adantlr 310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) → ((y ∈ A ∧ g <Q y) → ∃x(x ∈ (AFB) ∧ (gGh) <Q x)))
31	30	19.23adv 954	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) → (∃y(y ∈ A ∧ g <Q y) → ∃x(x ∈ (AFB) ∧ (gGh) <Q x)))
32	8, 31	mpd 46	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) → ∃x(x ∈ (AFB) ∧ (gGh) <Q x))
33	32	an4s 390	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ (g ∈ A ∧ h ∈ B)) → ∃x(x ∈ (AFB) ∧ (gGh) <Q x))
34	6, 33	syl5bir 184	. . . . . 6 ⊢ (f = (gGh) → (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ (g ∈ A ∧ h ∈ B)) → ∃x(x ∈ (AFB) ∧ f <Q x)))
35	34	exp3a 292	. . . . 5 ⊢ (f = (gGh) → ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((g ∈ A ∧ h ∈ B) → ∃x(x ∈ (AFB) ∧ f <Q x))))
36	35	com3l 34	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((g ∈ A ∧ h ∈ B) → (f = (gGh) → ∃x(x ∈ (AFB) ∧ f <Q x))))
37	36	imp3a 279	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ f = (gGh)) → ∃x(x ∈ (AFB) ∧ f <Q x)))
38	37	19.23advv 955	. 2 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (∃g∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ f = (gGh)) → ∃x(x ∈ (AFB) ∧ f <Q x)))
39	3, 38	sylbid 178	1 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (f ∈ (AFB) → ∃x(x ∈ (AFB) ∧ f <Q x)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  {copab2 3002  Qcnq 3773   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  genpcl 3905

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-qs 3205  df-ni 3794  df-nq 3832  df-np 3880

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