Theorem genpnnp 3902

Description: The result of an operation on positive reals is different from the set of positive fractions.

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ F = {⟨⟨w, v⟩, u⟩∣((w ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ u = {x∣∃y ∈ w ∃z ∈ v x = (yGz)})}
genpnnp.2	⊢ ((w ∈ Q ∧ v ∈ Q) → (wGv) ∈ Q)
genpnnp.3	⊢ (z ∈ Q → (x <Q y ↔ (zGx) <Q (zGy)))
genpnnp.4	⊢ (xGy) = (yGx)

Assertion

Ref	Expression
genpnnp	⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ¬ (AFB) = Q)

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   x,B,y,z,w,v   x,u,G   y,w,v,u,G,z   w,A,v   w,B,v   w,F,v

Proof of Theorem genpnnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpssnq 3888	. . . . 5 ⊢ (A ∈ P → A ⊂ Q)
2		pssnel 1752	. . . . 5 ⊢ (A ⊂ Q → ∃w(w ∈ Q ∧ ¬ w ∈ A))
3	1, 2	syl 12	. . . 4 ⊢ (A ∈ P → ∃w(w ∈ Q ∧ ¬ w ∈ A))
4		prpssnq 3888	. . . . 5 ⊢ (B ∈ P → B ⊂ Q)
5		pssnel 1752	. . . . 5 ⊢ (B ⊂ Q → ∃v(v ∈ Q ∧ ¬ v ∈ B))
6	4, 5	syl 12	. . . 4 ⊢ (B ∈ P → ∃v(v ∈ Q ∧ ¬ v ∈ B))
7	3, 6	anim12i 268	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (∃w(w ∈ Q ∧ ¬ w ∈ A) ∧ ∃v(v ∈ Q ∧ ¬ v ∈ B)))
8		eeanv 980	. . 3 ⊢ (∃w∃v((w ∈ Q ∧ ¬ w ∈ A) ∧ (v ∈ Q ∧ ¬ v ∈ B)) ↔ (∃w(w ∈ Q ∧ ¬ w ∈ A) ∧ ∃v(v ∈ Q ∧ ¬ v ∈ B)))
9	7, 8	sylibr 175	. 2 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ∃w∃v((w ∈ Q ∧ ¬ w ∈ A) ∧ (v ∈ Q ∧ ¬ v ∈ B)))
10		prub 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ w ∈ Q) → (¬ w ∈ A → g <Q w))
11		prub 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((B ∈ P ∧ h ∈ B) ∧ v ∈ Q) → (¬ v ∈ B → h <Q v))
12	10, 11	im2anan9 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ w ∈ Q) ∧ ((B ∈ P ∧ h ∈ B) ∧ v ∈ Q)) → ((¬ w ∈ A ∧ ¬ v ∈ B) → (g <Q w ∧ h <Q v)))
13		ltsopq 3869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ <Q Or Q
14		so2nr 2146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (( <Q Or Q ∧ (g ∈ Q ∧ w ∈ Q)) → ¬ (g <Q w ∧ w <Q g))
15	13, 14	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((g ∈ Q ∧ w ∈ Q) → ¬ (g <Q w ∧ w <Q g))
16	15	ad2antll 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((g ∈ Q ∧ w ∈ Q) ∧ (h ∈ Q ∧ v ∈ Q)) ∧ (wGv) = (gGh)) → ¬ (g <Q w ∧ w <Q g))
17		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ w ∈ V
18		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ v ∈ V
19		genpnnp.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (z ∈ Q → (x <Q y ↔ (zGx) <Q (zGy)))
20		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ g ∈ V
21		genpnnp.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (xGy) = (yGx)
22		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ h ∈ V
23	17, 18, 19, 20, 21, 22	caoprord3 3072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((v ∈ Q ∧ g ∈ Q) ∧ (wGv) = (gGh)) → (w <Q g ↔ h <Q v))
24	23	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((v ∈ Q ∧ g ∈ Q) ∧ (wGv) = (gGh)) → ((g <Q w ∧ w <Q g) ↔ (g <Q w ∧ h <Q v)))
25		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((h ∈ Q ∧ v ∈ Q) → v ∈ Q)
26		pm3.26 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((g ∈ Q ∧ w ∈ Q) → g ∈ Q)
27	25, 26	anim12i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((h ∈ Q ∧ v ∈ Q) ∧ (g ∈ Q ∧ w ∈ Q)) → (v ∈ Q ∧ g ∈ Q))
28	27	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((g ∈ Q ∧ w ∈ Q) ∧ (h ∈ Q ∧ v ∈ Q)) → (v ∈ Q ∧ g ∈ Q))
29	24, 28	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((g ∈ Q ∧ w ∈ Q) ∧ (h ∈ Q ∧ v ∈ Q)) ∧ (wGv) = (gGh)) → ((g <Q w ∧ w <Q g) ↔ (g <Q w ∧ h <Q v)))
30	16, 29	mtbid 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((g ∈ Q ∧ w ∈ Q) ∧ (h ∈ Q ∧ v ∈ Q)) ∧ (wGv) = (gGh)) → ¬ (g <Q w ∧ h <Q v))
31	30	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((g ∈ Q ∧ w ∈ Q) ∧ (h ∈ Q ∧ v ∈ Q)) → ((wGv) = (gGh) → ¬ (g <Q w ∧ h <Q v)))
32	31	con2d 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((g ∈ Q ∧ w ∈ Q) ∧ (h ∈ Q ∧ v ∈ Q)) → ((g <Q w ∧ h <Q v) → ¬ (wGv) = (gGh)))
33		elprpq 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((A ∈ P ∧ g ∈ A) → g ∈ Q)
34	33	anim1i 269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ w ∈ Q) → (g ∈ Q ∧ w ∈ Q))
35		elprpq 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((B ∈ P ∧ h ∈ B) → h ∈ Q)
36	35	anim1i 269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((B ∈ P ∧ h ∈ B) ∧ v ∈ Q) → (h ∈ Q ∧ v ∈ Q))
37	32, 34, 36	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ w ∈ Q) ∧ ((B ∈ P ∧ h ∈ B) ∧ v ∈ Q)) → ((g <Q w ∧ h <Q v) → ¬ (wGv) = (gGh)))
38	12, 37	syld 27	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ w ∈ Q) ∧ ((B ∈ P ∧ h ∈ B) ∧ v ∈ Q)) → ((¬ w ∈ A ∧ ¬ v ∈ B) → ¬ (wGv) = (gGh)))
39	38	an4s 390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) ∧ (w ∈ Q ∧ v ∈ Q)) → ((¬ w ∈ A ∧ ¬ v ∈ B) → ¬ (wGv) = (gGh)))
40	39	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) → ((w ∈ Q ∧ v ∈ Q) → ((¬ w ∈ A ∧ ¬ v ∈ B) → ¬ (wGv) = (gGh))))
41	40	an4s 390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ (g ∈ A ∧ h ∈ B)) → ((w ∈ Q ∧ v ∈ Q) → ((¬ w ∈ A ∧ ¬ v ∈ B) → ¬ (wGv) = (gGh))))
42	41	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((g ∈ A ∧ h ∈ B) → ((w ∈ Q ∧ v ∈ Q) → ((¬ w ∈ A ∧ ¬ v ∈ B) → ¬ (wGv) = (gGh)))))
43	42	com24 37	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((¬ w ∈ A ∧ ¬ v ∈ B) → ((w ∈ Q ∧ v ∈ Q) → ((g ∈ A ∧ h ∈ B) → ¬ (wGv) = (gGh)))))
44	43	imp32 281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ ((¬ w ∈ A ∧ ¬ v ∈ B) ∧ (w ∈ Q ∧ v ∈ Q))) → ((g ∈ A ∧ h ∈ B) → ¬ (wGv) = (gGh)))
45		imnan 207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((g ∈ A ∧ h ∈ B) → ¬ (wGv) = (gGh)) ↔ ¬ ((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ (wGv) = (gGh)))
46	44, 45	sylib 173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ ((¬ w ∈ A ∧ ¬ v ∈ B) ∧ (w ∈ Q ∧ v ∈ Q))) → ¬ ((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ (wGv) = (gGh)))
47	46	nexdv 983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ ((¬ w ∈ A ∧ ¬ v ∈ B) ∧ (w ∈ Q ∧ v ∈ Q))) → ¬ ∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ (wGv) = (gGh)))
48	47	nexdv 983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ ((¬ w ∈ A ∧ ¬ v ∈ B) ∧ (w ∈ Q ∧ v ∈ Q))) → ¬ ∃g∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ (wGv) = (gGh)))
49	48	exp 291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (((¬ w ∈ A ∧ ¬ v ∈ B) ∧ (w ∈ Q ∧ v ∈ Q)) → ¬ ∃g∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ (wGv) = (gGh))))
50		genp.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ F = {⟨⟨w, v⟩, u⟩∣((w ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ u = {x∣∃y ∈ w ∃z ∈ v x = (yGz)})}
51	50	genpv 3896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (AFB) = {f∣∃g∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ f = (gGh))})
52	51	eleq2d 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((wGv) ∈ (AFB) ↔ (wGv) ∈ {f∣∃g∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ f = (gGh))}))
53		oprex 3018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (wGv) ∈ V
54		cleq1 1107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (f = (wGv) → (f = (gGh) ↔ (wGv) = (gGh)))
55	54	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (f = (wGv) → (((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ f = (gGh)) ↔ ((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ (wGv) = (gGh))))
56	55	bi2exdv 938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (f = (wGv) → (∃g∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ f = (gGh)) ↔ ∃g∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ (wGv) = (gGh))))
57	53, 56	elab 1415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((wGv) ∈ {f∣∃g∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ f = (gGh))} ↔ ∃g∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ (wGv) = (gGh)))
58	52, 57	syl6bb 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((wGv) ∈ (AFB) ↔ ∃g∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ (wGv) = (gGh))))
59	58	negbid 463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (¬ (wGv) ∈ (AFB) ↔ ¬ ∃g∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ (wGv) = (gGh))))
60	49, 59	sylibrd 179	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (((¬ w ∈ A ∧ ¬ v ∈ B) ∧ (w ∈ Q ∧ v ∈ Q)) → ¬ (wGv) ∈ (AFB)))
61	60	com12 13	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ w ∈ A ∧ ¬ v ∈ B) ∧ (w ∈ Q ∧ v ∈ Q)) → ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ¬ (wGv) ∈ (AFB)))
62	61	ancoms 334	. . . . . 6 ⊢ (((w ∈ Q ∧ v ∈ Q) ∧ (¬ w ∈ A ∧ ¬ v ∈ B)) → ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ¬ (wGv) ∈ (AFB)))
63	62	an4s 390	. . . . 5 ⊢ (((w ∈ Q ∧ ¬ w ∈ A) ∧ (v ∈ Q ∧ ¬ v ∈ B)) → ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ¬ (wGv) ∈ (AFB)))
64		genpnnp.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((w ∈ Q ∧ v ∈ Q) → (wGv) ∈ Q)
65		eleq2 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((AFB) = Q → ((wGv) ∈ (AFB) ↔ (wGv) ∈ Q))
66	65	biimprcd 138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((wGv) ∈ Q → ((AFB) = Q → (wGv) ∈ (AFB)))
67	66	con3d 87	. . . . . . . 8 ⊢ ((wGv) ∈ Q → (¬ (wGv) ∈ (AFB) → ¬ (AFB) = Q))
68	64, 67	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ ((w ∈ Q ∧ v ∈ Q) → (¬ (wGv) ∈ (AFB) → ¬ (AFB) = Q))
69	68	adantlr 310	. . . . . 6 ⊢ (((w ∈ Q ∧ ¬ w ∈ A) ∧ v ∈ Q) → (¬ (wGv) ∈ (AFB) → ¬ (AFB) = Q))
70	69	adantrr 312	. . . . 5 ⊢ (((w ∈ Q ∧ ¬ w ∈ A) ∧ (v ∈ Q ∧ ¬ v ∈ B)) → (¬ (wGv) ∈ (AFB) → ¬ (AFB) = Q))
71	63, 70	syld 27	. . . 4 ⊢ (((w ∈ Q ∧ ¬ w ∈ A) ∧ (v ∈ Q ∧ ¬ v ∈ B)) → ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ¬ (AFB) = Q))
72	71	com12 13	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (((w ∈ Q ∧ ¬ w ∈ A) ∧ (v ∈ Q ∧ ¬ v ∈ B)) → ¬ (AFB) = Q))
73	72	19.23advv 955	. 2 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (∃w∃v((w ∈ Q ∧ ¬ w ∈ A) ∧ (v ∈ Q ∧ ¬ v ∈ B)) → ¬ (AFB) = Q))
74	9, 73	mpd 46	1 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ¬ (AFB) = Q)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ⊂ wpss 1488   class class class wbr 2054   Or wor 2059  (class class class)co 3001  {copab2 3002  Qcnq 3773   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  genpcl 3905

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-lti 3797  df-enq 3831  df-nq 3832  df-ltq 3836  df-np 3880

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