Theorem genpss 3901

Description: The result of an operation on positive reals is a subset of the positive fractions.

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ F = {⟨⟨w, v⟩, u⟩∣((w ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ u = {x∣∃y ∈ w ∃z ∈ v x = (yGz)})}
genpss.2	⊢ ((g ∈ Q ∧ h ∈ Q) → (gGh) ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
genpss	⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (AFB) ⊆ Q)

Distinct variable group(s):   x,y,z,g,h,A   x,B,y,z,g,h   x,w,v,u,G,y,z,g,h   g,F

Proof of Theorem genpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . . . 5 ⊢ F = {⟨⟨w, v⟩, u⟩∣((w ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ u = {x∣∃y ∈ w ∃z ∈ v x = (yGz)})}
2	1	genpv 3896	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (AFB) = {f∣∃g∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ f = (gGh))})
3	2	cleqabd 1178	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (f ∈ (AFB) ↔ ∃g∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ f = (gGh))))
4		prpssnq 3888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ P → A ⊂ Q)
5	4	pssssd 1568	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ P → A ⊆ Q)
6	5	sseld 1506	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ P → (g ∈ A → g ∈ Q))
7		prpssnq 3888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ P → B ⊂ Q)
8	7	pssssd 1568	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ P → B ⊆ Q)
9	8	sseld 1506	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ P → (h ∈ B → h ∈ Q))
10	6, 9	im2anan9 434	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((g ∈ A ∧ h ∈ B) → (g ∈ Q ∧ h ∈ Q)))
11		genpss.2	. . . . . . 7 ⊢ ((g ∈ Q ∧ h ∈ Q) → (gGh) ∈ Q)
12	10, 11	syl6 23	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((g ∈ A ∧ h ∈ B) → (gGh) ∈ Q))
13		eleq1a 1158	. . . . . 6 ⊢ ((gGh) ∈ Q → (f = (gGh) → f ∈ Q))
14	12, 13	syl6 23	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((g ∈ A ∧ h ∈ B) → (f = (gGh) → f ∈ Q)))
15	14	imp3a 279	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ f = (gGh)) → f ∈ Q))
16	15	19.23advv 955	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (∃g∃h((g ∈ A ∧ h ∈ B) ∧ f = (gGh)) → f ∈ Q))
17	3, 16	sylbid 178	. 2 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (f ∈ (AFB) → f ∈ Q))
18	17	ssrdv 1509	1 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (AFB) ⊆ Q)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487  (class class class)co 3001  {copab2 3002  Qcnq 3773  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  genpcl 3905

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-qs 3205  df-ni 3794  df-nq 3832  df-np 3880

metamath.org