Theorem golem1 5704

Description: Lemma for Godowski's equation.

Hypotheses

Ref	Expression
golem1.1	⊢ A ∈ Cℋ
golem1.2	⊢ B ∈ Cℋ
golem1.3	⊢ C ∈ Cℋ
golem1.4	⊢ F = ((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ B))
golem1.5	⊢ G = ((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ C))
golem1.6	⊢ H = ((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ A))
golem1.7	⊢ D = ((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ A))
golem1.8	⊢ R = ((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ B))
golem1.9	⊢ S = ((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ C))

Assertion

Ref	Expression
golem1	⊢ (f ∈ States → (((f ‘F) + (f ‘G)) + (f ‘H)) = (((f ‘D) + (f ‘R)) + (f ‘S)))

Proof of Theorem golem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axaddass 4072	. . . . . . . 8 ⊢ (((f ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(⊥ ‘B)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(⊥ ‘C)) ∈ ℂ) → (((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(⊥ ‘B))) + (f ‘(⊥ ‘C))) = ((f ‘(⊥ ‘A)) + ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C)))))
2		golem1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ A ∈ Cℋ
3	2	chocl 5192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥ ‘A) ∈ Cℋ
4		stclt 5672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (f ∈ States → ((⊥ ‘A) ∈ Cℋ → (f ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℝ))
5	3, 4	mpi 44	. . . . . . . . 9 ⊢ (f ∈ States → (f ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℝ)
6	5	recnd 4099	. . . . . . . 8 ⊢ (f ∈ States → (f ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℂ)
7		golem1.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ B ∈ Cℋ
8	7	chocl 5192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥ ‘B) ∈ Cℋ
9		stclt 5672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (f ∈ States → ((⊥ ‘B) ∈ Cℋ → (f ‘(⊥ ‘B)) ∈ ℝ))
10	8, 9	mpi 44	. . . . . . . . 9 ⊢ (f ∈ States → (f ‘(⊥ ‘B)) ∈ ℝ)
11	10	recnd 4099	. . . . . . . 8 ⊢ (f ∈ States → (f ‘(⊥ ‘B)) ∈ ℂ)
12		golem1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ C ∈ Cℋ
13	12	chocl 5192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥ ‘C) ∈ Cℋ
14		stclt 5672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (f ∈ States → ((⊥ ‘C) ∈ Cℋ → (f ‘(⊥ ‘C)) ∈ ℝ))
15	13, 14	mpi 44	. . . . . . . . 9 ⊢ (f ∈ States → (f ‘(⊥ ‘C)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 4099	. . . . . . . 8 ⊢ (f ∈ States → (f ‘(⊥ ‘C)) ∈ ℂ)
17	1, 6, 11, 16	syl3anc 629	. . . . . . 7 ⊢ (f ∈ States → (((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(⊥ ‘B))) + (f ‘(⊥ ‘C))) = ((f ‘(⊥ ‘A)) + ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C)))))
18		axaddcom 4070	. . . . . . . 8 ⊢ (((f ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℂ ∧ ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) ∈ ℂ) → ((f ‘(⊥ ‘A)) + ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C)))) = (((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) + (f ‘(⊥ ‘A))))
19		axaddcl 4066	. . . . . . . . 9 ⊢ (((f ‘(⊥ ‘B)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(⊥ ‘C)) ∈ ℂ) → ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) ∈ ℂ)
20	19, 11, 16	sylanc 361	. . . . . . . 8 ⊢ (f ∈ States → ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) ∈ ℂ)
21	18, 6, 20	sylanc 361	. . . . . . 7 ⊢ (f ∈ States → ((f ‘(⊥ ‘A)) + ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C)))) = (((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) + (f ‘(⊥ ‘A))))
22	17, 21	eqtrd 1128	. . . . . 6 ⊢ (f ∈ States → (((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(⊥ ‘B))) + (f ‘(⊥ ‘C))) = (((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) + (f ‘(⊥ ‘A))))
23	22	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ (f ∈ States → ((((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(⊥ ‘B))) + (f ‘(⊥ ‘C))) + (((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C))) + (f ‘(C ∩ A)))) = ((((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) + (f ‘(⊥ ‘A))) + (((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C))) + (f ‘(C ∩ A)))))
24		add4t 4127	. . . . . 6 ⊢ (((((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(⊥ ‘B))) ∈ ℂ ∧ ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C))) ∈ ℂ) ∧ ((f ‘(⊥ ‘C)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(C ∩ A)) ∈ ℂ)) → ((((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(⊥ ‘B))) + ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C)))) + ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(C ∩ A)))) = ((((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(⊥ ‘B))) + (f ‘(⊥ ‘C))) + (((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C))) + (f ‘(C ∩ A)))))
25		axaddcl 4066	. . . . . . . 8 ⊢ (((f ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(⊥ ‘B)) ∈ ℂ) → ((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(⊥ ‘B))) ∈ ℂ)
26	25, 6, 11	sylanc 361	. . . . . . 7 ⊢ (f ∈ States → ((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(⊥ ‘B))) ∈ ℂ)
27		axaddcl 4066	. . . . . . . 8 ⊢ (((f ‘(A ∩ B)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(B ∩ C)) ∈ ℂ) → ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C))) ∈ ℂ)
28	2, 7	chincl 5382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∩ B) ∈ Cℋ
29		stclt 5672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (f ∈ States → ((A ∩ B) ∈ Cℋ → (f ‘(A ∩ B)) ∈ ℝ))
30	28, 29	mpi 44	. . . . . . . . 9 ⊢ (f ∈ States → (f ‘(A ∩ B)) ∈ ℝ)
31	30	recnd 4099	. . . . . . . 8 ⊢ (f ∈ States → (f ‘(A ∩ B)) ∈ ℂ)
32	7, 12	chincl 5382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∩ C) ∈ Cℋ
33		stclt 5672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (f ∈ States → ((B ∩ C) ∈ Cℋ → (f ‘(B ∩ C)) ∈ ℝ))
34	32, 33	mpi 44	. . . . . . . . 9 ⊢ (f ∈ States → (f ‘(B ∩ C)) ∈ ℝ)
35	34	recnd 4099	. . . . . . . 8 ⊢ (f ∈ States → (f ‘(B ∩ C)) ∈ ℂ)
36	27, 31, 35	sylanc 361	. . . . . . 7 ⊢ (f ∈ States → ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C))) ∈ ℂ)
37	26, 36	jca 236	. . . . . 6 ⊢ (f ∈ States → (((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(⊥ ‘B))) ∈ ℂ ∧ ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C))) ∈ ℂ))
38	12, 2	chincl 5382	. . . . . . . . 9 ⊢ (C ∩ A) ∈ Cℋ
39		stclt 5672	. . . . . . . . 9 ⊢ (f ∈ States → ((C ∩ A) ∈ Cℋ → (f ‘(C ∩ A)) ∈ ℝ))
40	38, 39	mpi 44	. . . . . . . 8 ⊢ (f ∈ States → (f ‘(C ∩ A)) ∈ ℝ)
41	40	recnd 4099	. . . . . . 7 ⊢ (f ∈ States → (f ‘(C ∩ A)) ∈ ℂ)
42	16, 41	jca 236	. . . . . 6 ⊢ (f ∈ States → ((f ‘(⊥ ‘C)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(C ∩ A)) ∈ ℂ))
43	24, 37, 42	sylanc 361	. . . . 5 ⊢ (f ∈ States → ((((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(⊥ ‘B))) + ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C)))) + ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(C ∩ A)))) = ((((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(⊥ ‘B))) + (f ‘(⊥ ‘C))) + (((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C))) + (f ‘(C ∩ A)))))
44		add4t 4127	. . . . . 6 ⊢ (((((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) ∈ ℂ ∧ ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C))) ∈ ℂ) ∧ ((f ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(C ∩ A)) ∈ ℂ)) → ((((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) + ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C)))) + ((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(C ∩ A)))) = ((((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) + (f ‘(⊥ ‘A))) + (((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C))) + (f ‘(C ∩ A)))))
45	20, 36	jca 236	. . . . . 6 ⊢ (f ∈ States → (((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) ∈ ℂ ∧ ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C))) ∈ ℂ))
46	6, 41	jca 236	. . . . . 6 ⊢ (f ∈ States → ((f ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(C ∩ A)) ∈ ℂ))
47	44, 45, 46	sylanc 361	. . . . 5 ⊢ (f ∈ States → ((((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) + ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C)))) + ((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(C ∩ A)))) = ((((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) + (f ‘(⊥ ‘A))) + (((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C))) + (f ‘(C ∩ A)))))
48	23, 43, 47	3eqtr4d 1134	. . . 4 ⊢ (f ∈ States → ((((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(⊥ ‘B))) + ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C)))) + ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(C ∩ A)))) = ((((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) + ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C)))) + ((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(C ∩ A)))))
49		add4t 4127	. . . . . 6 ⊢ ((((f ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(A ∩ B)) ∈ ℂ) ∧ ((f ‘(⊥ ‘B)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(B ∩ C)) ∈ ℂ)) → (((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(A ∩ B))) + ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(B ∩ C)))) = (((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(⊥ ‘B))) + ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C)))))
50	6, 31	jca 236	. . . . . 6 ⊢ (f ∈ States → ((f ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(A ∩ B)) ∈ ℂ))
51	11, 35	jca 236	. . . . . 6 ⊢ (f ∈ States → ((f ‘(⊥ ‘B)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(B ∩ C)) ∈ ℂ))
52	49, 50, 51	sylanc 361	. . . . 5 ⊢ (f ∈ States → (((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(A ∩ B))) + ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(B ∩ C)))) = (((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(⊥ ‘B))) + ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C)))))
53	52	opreq1d 3012	. . . 4 ⊢ (f ∈ States → ((((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(A ∩ B))) + ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(B ∩ C)))) + ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(C ∩ A)))) = ((((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(⊥ ‘B))) + ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C)))) + ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(C ∩ A)))))
54		add4t 4127	. . . . . 6 ⊢ ((((f ‘(⊥ ‘B)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(A ∩ B)) ∈ ℂ) ∧ ((f ‘(⊥ ‘C)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(B ∩ C)) ∈ ℂ)) → (((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(A ∩ B))) + ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(B ∩ C)))) = (((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) + ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C)))))
55	11, 31	jca 236	. . . . . 6 ⊢ (f ∈ States → ((f ‘(⊥ ‘B)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(A ∩ B)) ∈ ℂ))
56	16, 35	jca 236	. . . . . 6 ⊢ (f ∈ States → ((f ‘(⊥ ‘C)) ∈ ℂ ∧ (f ‘(B ∩ C)) ∈ ℂ))
57	54, 55, 56	sylanc 361	. . . . 5 ⊢ (f ∈ States → (((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(A ∩ B))) + ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(B ∩ C)))) = (((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) + ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C)))))
58	57	opreq1d 3012	. . . 4 ⊢ (f ∈ States → ((((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(A ∩ B))) + ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(B ∩ C)))) + ((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(C ∩ A)))) = ((((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(⊥ ‘C))) + ((f ‘(A ∩ B)) + (f ‘(B ∩ C)))) + ((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(C ∩ A)))))
59	48, 53, 58	3eqtr4d 1134	. . 3 ⊢ (f ∈ States → ((((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(A ∩ B))) + ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(B ∩ C)))) + ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(C ∩ A)))) = ((((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(A ∩ B))) + ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(B ∩ C)))) + ((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(C ∩ A)))))
60	2, 7	stji1 5683	. . . . 5 ⊢ (f ∈ States → (f ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ B))) = ((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(A ∩ B))))
61	7, 12	stji1 5683	. . . . 5 ⊢ (f ∈ States → (f ‘((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ C))) = ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(B ∩ C))))
62	60, 61	opreq12d 3014	. . . 4 ⊢ (f ∈ States → ((f ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ B))) + (f ‘((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ C)))) = (((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(A ∩ B))) + ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(B ∩ C)))))
63	12, 2	stji1 5683	. . . 4 ⊢ (f ∈ States → (f ‘((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ A))) = ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(C ∩ A))))
64	62, 63	opreq12d 3014	. . 3 ⊢ (f ∈ States → (((f ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ B))) + (f ‘((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ C)))) + (f ‘((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ A)))) = ((((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(A ∩ B))) + ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(B ∩ C)))) + ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(C ∩ A)))))
65	7, 2	stji1 5683	. . . . . 6 ⊢ (f ∈ States → (f ‘((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ A))) = ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(B ∩ A))))
66		incom 1636	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∩ A) = (A ∩ B)
67	66	fveq2i 2835	. . . . . . 7 ⊢ (f ‘(B ∩ A)) = (f ‘(A ∩ B))
68	67	opreq2i 3010	. . . . . 6 ⊢ ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(B ∩ A))) = ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(A ∩ B)))
69	65, 68	syl6eq 1140	. . . . 5 ⊢ (f ∈ States → (f ‘((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ A))) = ((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(A ∩ B))))
70	12, 7	stji1 5683	. . . . . 6 ⊢ (f ∈ States → (f ‘((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ B))) = ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(C ∩ B))))
71		incom 1636	. . . . . . . 8 ⊢ (C ∩ B) = (B ∩ C)
72	71	fveq2i 2835	. . . . . . 7 ⊢ (f ‘(C ∩ B)) = (f ‘(B ∩ C))
73	72	opreq2i 3010	. . . . . 6 ⊢ ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(C ∩ B))) = ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(B ∩ C)))
74	70, 73	syl6eq 1140	. . . . 5 ⊢ (f ∈ States → (f ‘((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ B))) = ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(B ∩ C))))
75	69, 74	opreq12d 3014	. . . 4 ⊢ (f ∈ States → ((f ‘((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ A))) + (f ‘((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ B)))) = (((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(A ∩ B))) + ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(B ∩ C)))))
76	2, 12	stji1 5683	. . . . 5 ⊢ (f ∈ States → (f ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ C))) = ((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(A ∩ C))))
77		incom 1636	. . . . . . 7 ⊢ (A ∩ C) = (C ∩ A)
78	77	fveq2i 2835	. . . . . 6 ⊢ (f ‘(A ∩ C)) = (f ‘(C ∩ A))
79	78	opreq2i 3010	. . . . 5 ⊢ ((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(A ∩ C))) = ((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(C ∩ A)))
80	76, 79	syl6eq 1140	. . . 4 ⊢ (f ∈ States → (f ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ C))) = ((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(C ∩ A))))
81	75, 80	opreq12d 3014	. . 3 ⊢ (f ∈ States → (((f ‘((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ A))) + (f ‘((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ B)))) + (f ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ C)))) = ((((f ‘(⊥ ‘B)) + (f ‘(A ∩ B))) + ((f ‘(⊥ ‘C)) + (f ‘(B ∩ C)))) + ((f ‘(⊥ ‘A)) + (f ‘(C ∩ A)))))
82	59, 64, 81	3eqtr4d 1134	. 2 ⊢ (f ∈ States → (((f ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ B))) + (f ‘((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ C)))) + (f ‘((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ A)))) = (((f ‘((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ A))) + (f ‘((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ B)))) + (f ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ C)))))
83		golem1.4	. . . . 5 ⊢ F = ((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ B))
84	83	fveq2i 2835	. . . 4 ⊢ (f ‘F) = (f ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ B)))
85		golem1.5	. . . . 5 ⊢ G = ((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ C))
86	85	fveq2i 2835	. . . 4 ⊢ (f ‘G) = (f ‘((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ C)))
87	84, 86	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ ((f ‘F) + (f ‘G)) = ((f ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ B))) + (f ‘((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ C))))
88		golem1.6	. . . 4 ⊢ H = ((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ A))
89	88	fveq2i 2835	. . 3 ⊢ (f ‘H) = (f ‘((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ A)))
90	87, 89	opreq12i 3011	. 2 ⊢ (((f ‘F) + (f ‘G)) + (f ‘H)) = (((f ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ B))) + (f ‘((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ C)))) + (f ‘((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ A))))
91		golem1.7	. . . . 5 ⊢ D = ((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ A))
92	91	fveq2i 2835	. . . 4 ⊢ (f ‘D) = (f ‘((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ A)))
93		golem1.8	. . . . 5 ⊢ R = ((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ B))
94	93	fveq2i 2835	. . . 4 ⊢ (f ‘R) = (f ‘((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ B)))
95	92, 94	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ ((f ‘D) + (f ‘R)) = ((f ‘((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ A))) + (f ‘((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ B))))
96		golem1.9	. . . 4 ⊢ S = ((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ C))
97	96	fveq2i 2835	. . 3 ⊢ (f ‘S) = (f ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ C)))
98	95, 97	opreq12i 3011	. 2 ⊢ (((f ‘D) + (f ‘R)) + (f ‘S)) = (((f ‘((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ A))) + (f ‘((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ B)))) + (f ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ C))))
99	82, 90, 98	3eqtr4g 1147	1 ⊢ (f ∈ States → (((f ‘F) + (f ‘G)) + (f ‘H)) = (((f ‘D) + (f ‘R)) + (f ‘S)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027   + caddc 4031   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   ∨_ℋ chj 4972  Statescst 4979

This theorem is referenced by:  golem2 5705

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-st 5670

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