Theorem golem2 5705

Description: Lemma for Godowski's equation.

Hypotheses

Ref	Expression
golem1.1	⊢ A ∈ Cℋ
golem1.2	⊢ B ∈ Cℋ
golem1.3	⊢ C ∈ Cℋ
golem1.4	⊢ F = ((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ B))
golem1.5	⊢ G = ((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ C))
golem1.6	⊢ H = ((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ A))
golem1.7	⊢ D = ((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ A))
golem1.8	⊢ R = ((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ B))
golem1.9	⊢ S = ((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ C))

Assertion

Ref	Expression
golem2	⊢ (f ∈ States → ((f ‘((F ∩ G) ∩ H)) = 1 → (f ‘D) = 1))

Proof of Theorem golem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		golem1.4	. . . . 5 ⊢ F = ((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ B))
2		golem1.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ Cℋ
3	2	chocl 5192	. . . . . 6 ⊢ (⊥ ‘A) ∈ Cℋ
4		golem1.2	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ Cℋ
5	2, 4	chincl 5382	. . . . . 6 ⊢ (A ∩ B) ∈ Cℋ
6	3, 5	chjcl 5379	. . . . 5 ⊢ ((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ B)) ∈ Cℋ
7	1, 6	eqeltr 1159	. . . 4 ⊢ F ∈ Cℋ
8		golem1.5	. . . . 5 ⊢ G = ((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ C))
9	4	chocl 5192	. . . . . 6 ⊢ (⊥ ‘B) ∈ Cℋ
10		golem1.3	. . . . . . 7 ⊢ C ∈ Cℋ
11	4, 10	chincl 5382	. . . . . 6 ⊢ (B ∩ C) ∈ Cℋ
12	9, 11	chjcl 5379	. . . . 5 ⊢ ((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ C)) ∈ Cℋ
13	8, 12	eqeltr 1159	. . . 4 ⊢ G ∈ Cℋ
14		golem1.6	. . . . 5 ⊢ H = ((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ A))
15	10	chocl 5192	. . . . . 6 ⊢ (⊥ ‘C) ∈ Cℋ
16	10, 2	chincl 5382	. . . . . 6 ⊢ (C ∩ A) ∈ Cℋ
17	15, 16	chjcl 5379	. . . . 5 ⊢ ((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ A)) ∈ Cℋ
18	14, 17	eqeltr 1159	. . . 4 ⊢ H ∈ Cℋ
19	7, 13, 18	stm1add3 5688	. . 3 ⊢ (f ∈ States → ((f ‘((F ∩ G) ∩ H)) = 1 → (((f ‘F) + (f ‘G)) + (f ‘H)) = 3))
20		golem1.7	. . . . 5 ⊢ D = ((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ A))
21		golem1.8	. . . . 5 ⊢ R = ((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ B))
22		golem1.9	. . . . 5 ⊢ S = ((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ C))
23	2, 4, 10, 1, 8, 14, 20, 21, 22	golem1 5704	. . . 4 ⊢ (f ∈ States → (((f ‘F) + (f ‘G)) + (f ‘H)) = (((f ‘D) + (f ‘R)) + (f ‘S)))
24	23	cleq1d 1109	. . 3 ⊢ (f ∈ States → ((((f ‘F) + (f ‘G)) + (f ‘H)) = 3 ↔ (((f ‘D) + (f ‘R)) + (f ‘S)) = 3))
25	19, 24	sylibd 177	. 2 ⊢ (f ∈ States → ((f ‘((F ∩ G) ∩ H)) = 1 → (((f ‘D) + (f ‘R)) + (f ‘S)) = 3))
26	4, 2	chincl 5382	. . . . 5 ⊢ (B ∩ A) ∈ Cℋ
27	9, 26	chjcl 5379	. . . 4 ⊢ ((⊥ ‘B) ∨ℋ (B ∩ A)) ∈ Cℋ
28	20, 27	eqeltr 1159	. . 3 ⊢ D ∈ Cℋ
29	10, 4	chincl 5382	. . . . 5 ⊢ (C ∩ B) ∈ Cℋ
30	15, 29	chjcl 5379	. . . 4 ⊢ ((⊥ ‘C) ∨ℋ (C ∩ B)) ∈ Cℋ
31	21, 30	eqeltr 1159	. . 3 ⊢ R ∈ Cℋ
32	2, 10	chincl 5382	. . . . 5 ⊢ (A ∩ C) ∈ Cℋ
33	3, 32	chjcl 5379	. . . 4 ⊢ ((⊥ ‘A) ∨ℋ (A ∩ C)) ∈ Cℋ
34	22, 33	eqeltr 1159	. . 3 ⊢ S ∈ Cℋ
35	28, 31, 34	stadd3 5689	. 2 ⊢ (f ∈ States → ((((f ‘D) + (f ‘R)) + (f ‘S)) = 3 → (f ‘D) = 1))
36	25, 35	syld 27	1 ⊢ (f ∈ States → ((f ‘((F ∩ G) ∩ H)) = 1 → (f ‘D) = 1))

Syntax hints:   → wi 2   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  1c1 4029   + caddc 4031  3c3 4455   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   ∨_ℋ chj 4972  Statescst 4979

This theorem is referenced by:  goeq 5706

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-shsum 5275  df-chj 5277  df-st 5670

metamath.org