Theorem h1datom 5483

Description: A 1-dimensional subspace is an atom.

Hypotheses

Ref	Expression
h1datom.1	⊢ A ∈ Cℋ
h1datom.2	⊢ B ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
h1datom	⊢ (A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) → (A = (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ∨ A = 0ℋ))

Proof of Theorem h1datom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 1502	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) → (x ∈ A → x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B}))))
2		cleq1 1107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (x = (y ·s B) → (x = 0v ↔ (y ·s B) = 0v))
3		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y = 0 → (y ·s B) = (0 ·s B))
4		h1datom.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ B ∈ ℋ
5		ax-hvmulzer 4995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (B ∈ ℋ → (0 ·s B) = 0v)
6	4, 5	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ·s B) = 0v
7	3, 6	syl6eq 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (y = 0 → (y ·s B) = 0v)
8	2, 7	syl5bir 184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (x = (y ·s B) → (y = 0 → x = 0v))
9	8	con3d 87	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x = (y ·s B) → (¬ x = 0v → ¬ y = 0))
10		df-ne 1192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ≠ 0 ↔ ¬ y = 0)
11	9, 10	syl6ibr 186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = (y ·s B) → (¬ x = 0v → y ≠ 0))
12	11	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ x = (y ·s B)) → (¬ x = 0v → y ≠ 0))
13		1cn 4101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		divclt 4223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ y ≠ 0) → (1 / y) ∈ ℂ)
15	13, 14	mpan11 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ y ≠ 0) → (1 / y) ∈ ℂ)
16		h1datom.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ A ∈ Cℋ
17	16	chshi 5132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ A ∈ Sℋ
18		shmulclt 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (A ∈ Sℋ → (((1 / y) ∈ ℂ ∧ x ∈ A) → ((1 / y) ·s x) ∈ A))
19	17, 18	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1 / y) ∈ ℂ ∧ x ∈ A) → ((1 / y) ·s x) ∈ A)
20	19	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 / y) ∈ ℂ → (x ∈ A → ((1 / y) ·s x) ∈ A))
21	15, 20	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ y ≠ 0) → (x ∈ A → ((1 / y) ·s x) ∈ A))
22	21	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((y ∈ ℂ ∧ y ≠ 0) ∧ x = (y ·s B)) → (x ∈ A → ((1 / y) ·s x) ∈ A))
23		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (x = (y ·s B) → ((1 / y) ·s x) = ((1 / y) ·s (y ·s B)))
24		ax-hvmulass 4992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((1 / y) ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ ∧ B ∈ ℋ ) → (((1 / y) · y) ·s B) = ((1 / y) ·s (y ·s B)))
25	4, 24	mp3an3 641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((1 / y) ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → (((1 / y) · y) ·s B) = ((1 / y) ·s (y ·s B)))
26		pm3.26 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ y ≠ 0) → y ∈ ℂ)
27	25, 15, 26	sylanc 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ y ≠ 0) → (((1 / y) · y) ·s B) = ((1 / y) ·s (y ·s B)))
28		axmulcom 4071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ (1 / y) ∈ ℂ) → (y · (1 / y)) = ((1 / y) · y))
29	28, 26, 15	sylanc 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ y ≠ 0) → (y · (1 / y)) = ((1 / y) · y))
30		recidt 4235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ y ≠ 0) → (y · (1 / y)) = 1)
31	29, 30	eqtr3d 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ y ≠ 0) → ((1 / y) · y) = 1)
32	31	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ y ≠ 0) → (((1 / y) · y) ·s B) = (1 ·s B))
33	27, 32	eqtr3d 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ y ≠ 0) → ((1 / y) ·s (y ·s B)) = (1 ·s B))
34		ax-hvmulid 4991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (B ∈ ℋ → (1 ·s B) = B)
35	4, 34	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 ·s B) = B
36	33, 35	syl6eq 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ y ≠ 0) → ((1 / y) ·s (y ·s B)) = B)
37	23, 36	sylan9eqr 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((y ∈ ℂ ∧ y ≠ 0) ∧ x = (y ·s B)) → ((1 / y) ·s x) = B)
38	37	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((y ∈ ℂ ∧ y ≠ 0) ∧ x = (y ·s B)) → (((1 / y) ·s x) ∈ A ↔ B ∈ A))
39	22, 38	sylibd 177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((y ∈ ℂ ∧ y ≠ 0) ∧ x = (y ·s B)) → (x ∈ A → B ∈ A))
40	39	exp31 293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ∈ ℂ → (y ≠ 0 → (x = (y ·s B) → (x ∈ A → B ∈ A))))
41	40	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ ℂ → (x = (y ·s B) → (y ≠ 0 → (x ∈ A → B ∈ A))))
42	41	imp 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ x = (y ·s B)) → (y ≠ 0 → (x ∈ A → B ∈ A)))
43	12, 42	syld 27	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ x = (y ·s B)) → (¬ x = 0v → (x ∈ A → B ∈ A)))
44	43	com3r 35	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ A → ((y ∈ ℂ ∧ x = (y ·s B)) → (¬ x = 0v → B ∈ A)))
45	44	exp3a 292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ A → (y ∈ ℂ → (x = (y ·s B) → (¬ x = 0v → B ∈ A))))
46	45	r19.23adv 1286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ A → (∃y ∈ ℂ x = (y ·s B) → (¬ x = 0v → B ∈ A)))
47	4	h1de2ct 5461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ ∃y ∈ ℂ x = (y ·s B))
48	46, 47	syl5ib 181	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ A → (x ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) → (¬ x = 0v → B ∈ A)))
49	1, 48	sylcom 51	. . . . . . . 8 ⊢ (A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) → (x ∈ A → (¬ x = 0v → B ∈ A)))
50	49	r19.23adv 1286	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) → (∃x ∈ A ¬ x = 0v → B ∈ A))
51	16	chne0 5375	. . . . . . 7 ⊢ (¬ A = 0ℋ ↔ ∃x ∈ A ¬ x = 0v)
52	50, 51	syl5ib 181	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) → (¬ A = 0ℋ → B ∈ A))
53		snssi 1851	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ A → {B} ⊆ A)
54		snssi 1851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ ℋ → {B} ⊆ ℋ )
55	4, 54	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 ⊢ {B} ⊆ ℋ
56	16	chssi 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ A ⊆ ℋ
57	55, 56	occon2 5170	. . . . . . . 8 ⊢ ({B} ⊆ A → (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘A)))
58	53, 57	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ A → (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘A)))
59	16	ococ 5252	. . . . . . 7 ⊢ (⊥ ‘(⊥ ‘A)) = A
60	58, 59	syl6ss 1546	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ A → (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ⊆ A)
61	52, 60	syl6 23	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) → (¬ A = 0ℋ → (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ⊆ A))
62	61	anc2li 250	. . . 4 ⊢ (A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) → (¬ A = 0ℋ → (A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ∧ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ⊆ A)))
63		eqss 1516	. . . 4 ⊢ (A = (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ (A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ∧ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ⊆ A))
64	62, 63	syl6ibr 186	. . 3 ⊢ (A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) → (¬ A = 0ℋ → A = (⊥ ‘(⊥ ‘{B}))))
65	64	con1d 85	. 2 ⊢ (A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) → (¬ A = (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) → A = 0ℋ))
66	65	orrd 203	1 ⊢ (A ⊆ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) → (A = (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ∨ A = 0ℋ))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487  {csn 1808   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028  1c1 4029   · cmulc 4032   / cdiv 4091   ℋ chil 4958   ·_s csm 4960  0_vc0v 4961   S_ℋ csh 4967   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969  0_ℋc0h 4974

This theorem is referenced by:  h1datomt 5484

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op  1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157

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