Theorem h1de2ctlem 5460

Description: Lemma for h1de2ct 5461.

Hypotheses

Ref	Expression
h1de2.1	⊢ A ∈ ℋ
h1de2.2	⊢ B ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
h1de2ctlem	⊢ (A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ ∃x ∈ ℂ A = (x ·s B))

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem h1de2ctlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 1816	. . . . . . . 8 ⊢ (B = 0v → {B} = {0v})
2	1	fveq2d 2836	. . . . . . 7 ⊢ (B = 0v → (⊥ ‘{B}) = (⊥ ‘{0v}))
3	2	fveq2d 2836	. . . . . 6 ⊢ (B = 0v → (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) = (⊥ ‘(⊥ ‘{0v})))
4	3	eleq2d 1156	. . . . 5 ⊢ (B = 0v → (A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{0v}))))
5		h1de2.1	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ ℋ
6	5	elisseti 1355	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ V
7	6	elsnc 1826	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ {0v} ↔ A = 0v)
8		hsn0elch 5155	. . . . . . . 8 ⊢ {0v} ∈ Cℋ
9	8	ococ 5252	. . . . . . 7 ⊢ (⊥ ‘(⊥ ‘{0v})) = {0v}
10	9	eleq2i 1153	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{0v})) ↔ A ∈ {0v})
11		h1de2.2	. . . . . . . 8 ⊢ B ∈ ℋ
12		ax-hvmulzer 4995	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℋ → (0 ·s B) = 0v)
13	11, 12	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ (0 ·s B) = 0v
14	13	cleq2i 1111	. . . . . 6 ⊢ (A = (0 ·s B) ↔ A = 0v)
15	7, 10, 14	3bitr4r 159	. . . . 5 ⊢ (A = (0 ·s B) ↔ A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{0v})))
16	4, 15	syl6rbbr 417	. . . 4 ⊢ (B = 0v → (A = (0 ·s B) ↔ A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B}))))
17		0cn 4100	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
18		opreq1 3006	. . . . . . 7 ⊢ (x = 0 → (x ·s B) = (0 ·s B))
19	18	cleq2d 1112	. . . . . 6 ⊢ (x = 0 → (A = (x ·s B) ↔ A = (0 ·s B)))
20	19	rcla4ev 1403	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ A = (0 ·s B)) → ∃x ∈ ℂ A = (x ·s B))
21	17, 20	mpan 518	. . . 4 ⊢ (A = (0 ·s B) → ∃x ∈ ℂ A = (x ·s B))
22	16, 21	syl6bir 188	. . 3 ⊢ (B = 0v → (A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) → ∃x ∈ ℂ A = (x ·s B)))
23	5, 11	h1de2b 5459	. . . 4 ⊢ (¬ B = 0v → (A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ A = (((A ·i B) / (B ·i B)) ·s B)))
24		opreq1 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ((A ·i B) / (B ·i B)) → (x ·s B) = (((A ·i B) / (B ·i B)) ·s B))
25	24	cleq2d 1112	. . . . . . 7 ⊢ (x = ((A ·i B) / (B ·i B)) → (A = (x ·s B) ↔ A = (((A ·i B) / (B ·i B)) ·s B)))
26	25	rcla4ev 1403	. . . . . 6 ⊢ ((((A ·i B) / (B ·i B)) ∈ ℂ ∧ A = (((A ·i B) / (B ·i B)) ·s B)) → ∃x ∈ ℂ A = (x ·s B))
27		df-ne 1192	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ·i B) ≠ 0 ↔ ¬ (B ·i B) = 0)
28		his6 5057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ ℋ → ((B ·i B) = 0 ↔ B = 0v))
29	11, 28	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ·i B) = 0 ↔ B = 0v)
30	29	negbii 162	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (B ·i B) = 0 ↔ ¬ B = 0v)
31	27, 30	bitr 151	. . . . . . 7 ⊢ ((B ·i B) ≠ 0 ↔ ¬ B = 0v)
32	5, 11	hicl 5044	. . . . . . . 8 ⊢ (A ·i B) ∈ ℂ
33	11, 11	hicl 5044	. . . . . . . 8 ⊢ (B ·i B) ∈ ℂ
34	32, 33	divclz 4222	. . . . . . 7 ⊢ ((B ·i B) ≠ 0 → ((A ·i B) / (B ·i B)) ∈ ℂ)
35	31, 34	sylbir 176	. . . . . 6 ⊢ (¬ B = 0v → ((A ·i B) / (B ·i B)) ∈ ℂ)
36	26, 35	sylan 343	. . . . 5 ⊢ ((¬ B = 0v ∧ A = (((A ·i B) / (B ·i B)) ·s B)) → ∃x ∈ ℂ A = (x ·s B))
37	36	exp 291	. . . 4 ⊢ (¬ B = 0v → (A = (((A ·i B) / (B ·i B)) ·s B) → ∃x ∈ ℂ A = (x ·s B)))
38	23, 37	sylbid 178	. . 3 ⊢ (¬ B = 0v → (A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) → ∃x ∈ ℂ A = (x ·s B)))
39	22, 38	pm2.61i 110	. 2 ⊢ (A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) → ∃x ∈ ℂ A = (x ·s B))
40		eleq1 1149	. . . . 5 ⊢ (A = (x ·s B) → (A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ (x ·s B) ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B}))))
41		h1did 5456	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ ℋ → B ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})))
42	11, 41	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ B ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B}))
43		snssi 1851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ∈ ℋ → {B} ⊆ ℋ )
44	11, 43	ax-mp 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ {B} ⊆ ℋ
45	44	occl 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥ ‘{B}) ∈ Cℋ
46	45	chocl 5192	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ∈ Cℋ
47	46	chshi 5132	. . . . . . 7 ⊢ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ∈ Sℋ
48		shmulclt 5124	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ∈ Sℋ → ((x ∈ ℂ ∧ B ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B}))) → (x ·s B) ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B}))))
49	47, 48	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ B ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B}))) → (x ·s B) ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})))
50	42, 49	mpan2 519	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℂ → (x ·s B) ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})))
51	40, 50	syl5bir 184	. . . 4 ⊢ (A = (x ·s B) → (x ∈ ℂ → A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B}))))
52	51	com12 13	. . 3 ⊢ (x ∈ ℂ → (A = (x ·s B) → A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B}))))
53	52	r19.23aiv 1284	. 2 ⊢ (∃x ∈ ℂ A = (x ·s B) → A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})))
54	39, 53	impbi 139	1 ⊢ (A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ ∃x ∈ ℂ A = (x ·s B))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487  {csn 1808   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028   / cdiv 4091   ℋ chil 4958   ·_s csm 4960  0_vc0v 4961   ·_i csp 4963   S_ℋ csh 4967  ⊥cort 4969

This theorem is referenced by:  h1de2ct 5461

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157

metamath.org