Theorem halfnz 4586

Description: One-half is not an integer.

Assertion

Ref	Expression
halfnz	⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ

Proof of Theorem halfnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cn 4101	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		2cn 4471	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		ax1ne0 4075	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
4		2re 4470	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		2pos 4479	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
6	4, 5	gt0ne0i 4345	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
7	1, 2, 3, 6	divneq0 4231	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ≠ 0
8		df-ne 1192	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ≠ 0 ↔ ¬ (1 / 2) = 0)
9	7, 8	mpbi 164	. . . . . 6 ⊢ ¬ (1 / 2) = 0
10		df-2 4462	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
11	10	opreq2i 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) = (1 / (1 + 1))
12		lt01 4377	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
13		ax1re 4064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
14	13	halfpos 4421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < 1 ↔ (1 / (1 + 1)) < 1)
15	12, 14	mpbi 164	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / (1 + 1)) < 1
16	11, 15	eqbrtr 2076	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
17	13, 4, 6	redivcl 4274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
18	13, 17	lelt 4301	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≤ (1 / 2) ↔ ¬ (1 / 2) < 1)
19	18	bicon2i 194	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
20	16, 19	mpbi 164	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ (1 / 2)
21		nnge1t 4439	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℕ → 1 ≤ (1 / 2))
22	20, 21	mto 93	. . . . . 6 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℕ
23	9, 22	pm3.2ni 440	. . . . 5 ⊢ ¬ ((1 / 2) = 0 ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)
24		ax0re 4063	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	4, 5	recgt0i 4385	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (1 / 2)
26	24, 17, 25	ltlei 4303	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
27		le0neg2t 4373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 / 2) ↔ -(1 / 2) ≤ 0))
28	17, 27	ax-mp 6	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ (1 / 2) ↔ -(1 / 2) ≤ 0)
29	26, 28	mpbi 164	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 2) ≤ 0
30	17	renegcl 4171	. . . . . . . 8 ⊢ -(1 / 2) ∈ ℝ
31	30, 24	lelt 4301	. . . . . . 7 ⊢ (-(1 / 2) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < -(1 / 2))
32	29, 31	mpbi 164	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 < -(1 / 2)
33		nngt0t 4441	. . . . . 6 ⊢ (-(1 / 2) ∈ ℕ → 0 < -(1 / 2))
34	32, 33	mto 93	. . . . 5 ⊢ ¬ -(1 / 2) ∈ ℕ
35	23, 34	pm3.2ni 440	. . . 4 ⊢ ¬ (((1 / 2) = 0 ∨ (1 / 2) ∈ ℕ) ∨ -(1 / 2) ∈ ℕ)
36		df-3or 582	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) = 0 ∨ (1 / 2) ∈ ℕ ∨ -(1 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((1 / 2) = 0 ∨ (1 / 2) ∈ ℕ) ∨ -(1 / 2) ∈ ℕ))
37	35, 36	mtbir 167	. . 3 ⊢ ¬ ((1 / 2) = 0 ∨ (1 / 2) ∈ ℕ ∨ -(1 / 2) ∈ ℕ)
38	37	intnan 516	. 2 ⊢ ¬ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ ((1 / 2) = 0 ∨ (1 / 2) ∈ ℕ ∨ -(1 / 2) ∈ ℕ))
39		elz 4565	. 2 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℤ ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ ((1 / 2) = 0 ∨ (1 / 2) ∈ ℕ ∨ -(1 / 2) ∈ ℕ)))
40	38, 39	mtbir 167	1 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   ∨ w3o 580   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033  -cneg 4090   / cdiv 4091   ≤ cle 4092  ℕcn 4093  ℤcz 4095  2c2 4454

This theorem is referenced by:  zneo 4601  nthruc 4784

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-z 4564

metamath.org