Theorem halfpq 3876

Description: One-half of any positive fraction exists. Lemma for Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120.

Assertion

Ref	Expression
halfpq	⊢ (A ∈ Q → ∃x(x +Q x) = A)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem halfpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 3832	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		cleq2 1110	. . 3 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → ((x +Q x) = [⟨y, z⟩] ~Q ↔ (x +Q x) = A))
3	2	biexdv 936	. 2 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (∃x(x +Q x) = [⟨y, z⟩] ~Q ↔ ∃x(x +Q x) = A))
4		addpipq 3848	. . . . . 6 ⊢ (((y ∈ N ∧ (z +N z) ∈ N) ∧ (y ∈ N ∧ (z +N z) ∈ N)) → ([⟨y, (z +N z)⟩] ~Q +Q [⟨y, (z +N z)⟩] ~Q ) = [⟨((y ·N (z +N z)) +N ((z +N z) ·N y)), ((z +N z) ·N (z +N z))⟩] ~Q )
5		visset 1350	. . . . . . . . . 10 ⊢ y ∈ V
6	5, 5	distrpi 3820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z +N z) ·N (y +N y)) = (((z +N z) ·N y) +N ((z +N z) ·N y))
7		oprex 3018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z +N z) ∈ V
8	5, 7	mulcompi 3818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ·N (z +N z)) = ((z +N z) ·N y)
9	8	opreq1i 3009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ·N (z +N z)) +N ((z +N z) ·N y)) = (((z +N z) ·N y) +N ((z +N z) ·N y))
10	6, 9	eqtr4 1122	. . . . . . . 8 ⊢ ((z +N z) ·N (y +N y)) = ((y ·N (z +N z)) +N ((z +N z) ·N y))
11		opeq1 1876	. . . . . . . 8 ⊢ (((z +N z) ·N (y +N y)) = ((y ·N (z +N z)) +N ((z +N z) ·N y)) → ⟨((z +N z) ·N (y +N y)), ((z +N z) ·N (z +N z))⟩ = ⟨((y ·N (z +N z)) +N ((z +N z) ·N y)), ((z +N z) ·N (z +N z))⟩)
12	10, 11	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ ⟨((z +N z) ·N (y +N y)), ((z +N z) ·N (z +N z))⟩ = ⟨((y ·N (z +N z)) +N ((z +N z) ·N y)), ((z +N z) ·N (z +N z))⟩
13		eceq2 3215	. . . . . . 7 ⊢ (⟨((z +N z) ·N (y +N y)), ((z +N z) ·N (z +N z))⟩ = ⟨((y ·N (z +N z)) +N ((z +N z) ·N y)), ((z +N z) ·N (z +N z))⟩ → [⟨((z +N z) ·N (y +N y)), ((z +N z) ·N (z +N z))⟩] ~Q = [⟨((y ·N (z +N z)) +N ((z +N z) ·N y)), ((z +N z) ·N (z +N z))⟩] ~Q )
14	12, 13	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ [⟨((z +N z) ·N (y +N y)), ((z +N z) ·N (z +N z))⟩] ~Q = [⟨((y ·N (z +N z)) +N ((z +N z) ·N y)), ((z +N z) ·N (z +N z))⟩] ~Q
15	4, 14	syl6eqr 1142	. . . . 5 ⊢ (((y ∈ N ∧ (z +N z) ∈ N) ∧ (y ∈ N ∧ (z +N z) ∈ N)) → ([⟨y, (z +N z)⟩] ~Q +Q [⟨y, (z +N z)⟩] ~Q ) = [⟨((z +N z) ·N (y +N y)), ((z +N z) ·N (z +N z))⟩] ~Q )
16		addclpi 3814	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ N ∧ z ∈ N) → (z +N z) ∈ N)
17	16	anidms 332	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ N → (z +N z) ∈ N)
18	17	anim2i 270	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → (y ∈ N ∧ (z +N z) ∈ N))
19	15, 18, 18	sylanc 361	. . . 4 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → ([⟨y, (z +N z)⟩] ~Q +Q [⟨y, (z +N z)⟩] ~Q ) = [⟨((z +N z) ·N (y +N y)), ((z +N z) ·N (z +N z))⟩] ~Q )
20		oprex 3018	. . . . . 6 ⊢ (y +N y) ∈ V
21	7, 20, 7	distrpqlem 3860	. . . . 5 ⊢ (((z +N z) ∈ N ∧ (y +N y) ∈ N ∧ (z +N z) ∈ N) → [⟨((z +N z) ·N (y +N y)), ((z +N z) ·N (z +N z))⟩] ~Q = [⟨(y +N y), (z +N z)⟩] ~Q )
22	17	adantl 305	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → (z +N z) ∈ N)
23		addclpi 3814	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ N ∧ y ∈ N) → (y +N y) ∈ N)
24	23	anidms 332	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ N → (y +N y) ∈ N)
25	24	adantr 306	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → (y +N y) ∈ N)
26	21, 22, 25, 22	syl3anc 629	. . . 4 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → [⟨((z +N z) ·N (y +N y)), ((z +N z) ·N (z +N z))⟩] ~Q = [⟨(y +N y), (z +N z)⟩] ~Q )
27		mulidpi 3808	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ N → (y ·N 1o) = y)
28	27, 27	opreq12d 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ N → ((y ·N 1o) +N (y ·N 1o)) = (y +N y))
29		oprex 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o +N 1o) ∈ V
30	5, 29	mulcompi 3818	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ·N (1o +N 1o)) = ((1o +N 1o) ·N y)
31		1pi 3805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ N
32	31	elisseti 1355	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
33	32, 32	distrpi 3820	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ·N (1o +N 1o)) = ((y ·N 1o) +N (y ·N 1o))
34	30, 33	eqtr3 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o +N 1o) ·N y) = ((y ·N 1o) +N (y ·N 1o))
35	28, 34	syl5eq 1136	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ N → ((1o +N 1o) ·N y) = (y +N y))
36		mulidpi 3808	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ N → (z ·N 1o) = z)
37	36, 36	opreq12d 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ N → ((z ·N 1o) +N (z ·N 1o)) = (z +N z))
38		visset 1350	. . . . . . . . . 10 ⊢ z ∈ V
39	38, 29	mulcompi 3818	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ·N (1o +N 1o)) = ((1o +N 1o) ·N z)
40	32, 32	distrpi 3820	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ·N (1o +N 1o)) = ((z ·N 1o) +N (z ·N 1o))
41	39, 40	eqtr3 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o +N 1o) ·N z) = ((z ·N 1o) +N (z ·N 1o))
42	37, 41	syl5eq 1136	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ N → ((1o +N 1o) ·N z) = (z +N z))
43	35, 42	anim12i 268	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → (((1o +N 1o) ·N y) = (y +N y) ∧ ((1o +N 1o) ·N z) = (z +N z)))
44		opeq12 1878	. . . . . 6 ⊢ ((((1o +N 1o) ·N y) = (y +N y) ∧ ((1o +N 1o) ·N z) = (z +N z)) → ⟨((1o +N 1o) ·N y), ((1o +N 1o) ·N z)⟩ = ⟨(y +N y), (z +N z)⟩)
45		eceq2 3215	. . . . . 6 ⊢ (⟨((1o +N 1o) ·N y), ((1o +N 1o) ·N z)⟩ = ⟨(y +N y), (z +N z)⟩ → [⟨((1o +N 1o) ·N y), ((1o +N 1o) ·N z)⟩] ~Q = [⟨(y +N y), (z +N z)⟩] ~Q )
46	43, 44, 45	3syl 21	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → [⟨((1o +N 1o) ·N y), ((1o +N 1o) ·N z)⟩] ~Q = [⟨(y +N y), (z +N z)⟩] ~Q )
47		addclpi 3814	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (1o +N 1o) ∈ N)
48	31, 31, 47	mp2an 520	. . . . . 6 ⊢ (1o +N 1o) ∈ N
49	29, 5, 38	distrpqlem 3860	. . . . . 6 ⊢ (((1o +N 1o) ∈ N ∧ y ∈ N ∧ z ∈ N) → [⟨((1o +N 1o) ·N y), ((1o +N 1o) ·N z)⟩] ~Q = [⟨y, z⟩] ~Q )
50	48, 49	mp3an1 639	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → [⟨((1o +N 1o) ·N y), ((1o +N 1o) ·N z)⟩] ~Q = [⟨y, z⟩] ~Q )
51	46, 50	eqtr3d 1130	. . . 4 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → [⟨(y +N y), (z +N z)⟩] ~Q = [⟨y, z⟩] ~Q )
52	19, 26, 51	3eqtrd 1132	. . 3 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → ([⟨y, (z +N z)⟩] ~Q +Q [⟨y, (z +N z)⟩] ~Q ) = [⟨y, z⟩] ~Q )
53		enqex 3842	. . . . 5 ⊢ ~Q ∈ V
54		ecexg 3204	. . . . 5 ⊢ ( ~Q ∈ V → [⟨y, (z +N z)⟩] ~Q ∈ V)
55	53, 54	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ [⟨y, (z +N z)⟩] ~Q ∈ V
56		opreq12 3008	. . . . . 6 ⊢ ((x = [⟨y, (z +N z)⟩] ~Q ∧ x = [⟨y, (z +N z)⟩] ~Q ) → (x +Q x) = ([⟨y, (z +N z)⟩] ~Q +Q [⟨y, (z +N z)⟩] ~Q ))
57	56	anidms 332	. . . . 5 ⊢ (x = [⟨y, (z +N z)⟩] ~Q → (x +Q x) = ([⟨y, (z +N z)⟩] ~Q +Q [⟨y, (z +N z)⟩] ~Q ))
58	57	cleq1d 1109	. . . 4 ⊢ (x = [⟨y, (z +N z)⟩] ~Q → ((x +Q x) = [⟨y, z⟩] ~Q ↔ ([⟨y, (z +N z)⟩] ~Q +Q [⟨y, (z +N z)⟩] ~Q ) = [⟨y, z⟩] ~Q ))
59	55, 58	cla4ev 1401	. . 3 ⊢ (([⟨y, (z +N z)⟩] ~Q +Q [⟨y, (z +N z)⟩] ~Q ) = [⟨y, z⟩] ~Q → ∃x(x +Q x) = [⟨y, z⟩] ~Q )
60	52, 59	syl 12	. 2 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → ∃x(x +Q x) = [⟨y, z⟩] ~Q )
61	1, 3, 60	ecoptocl 3239	1 ⊢ (A ∈ Q → ∃x(x +Q x) = A)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810  (class class class)co 3001  1_oc1o 3099  [cec 3198  Ncnpi 3766   +_N cpli 3767   ·_N cmi 3768   ~_Q ceq 3772  Qcnq 3773   +_Q cplq 3775

This theorem is referenced by:  nsmallpq 3877  ltbtwnpq 3878

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-plpq 3829  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833

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