Theorem hatomistic 5755

Description: C_ℋ is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Remark of [Kalmbach] p. 140.

Hypothesis

Ref	Expression
hatomistic.1	⊢ A ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
hatomistic	⊢ A = ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem hatomistic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab 1556	. . . . 5 ⊢ {x ∈ Atoms∣x ⊆ A} ⊆ Atoms
2		atssch 5741	. . . . 5 ⊢ Atoms ⊆ Cℋ
3	1, 2	sstri 1512	. . . 4 ⊢ {x ∈ Atoms∣x ⊆ A} ⊆ Cℋ
4		chsupclt 5309	. . . 4 ⊢ ({x ∈ Atoms∣x ⊆ A} ⊆ Cℋ → ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) ∈ Cℋ )
5	3, 4	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) ∈ Cℋ
6		hatomistic.1	. . . 4 ⊢ A ∈ Cℋ
7	6	chshi 5132	. . 3 ⊢ A ∈ Sℋ
8		atelch 5742	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ Atoms → y ∈ Cℋ )
9	8	anim1i 269	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ Atoms ∧ y ⊆ A) → (y ∈ Cℋ ∧ y ⊆ A))
10		sseq1 1521	. . . . . . . 8 ⊢ (x = y → (x ⊆ A ↔ y ⊆ A))
11	10	elrab 1422	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ {x ∈ Atoms∣x ⊆ A} ↔ (y ∈ Atoms ∧ y ⊆ A))
12	10	elrab 1422	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ {x ∈ Cℋ ∣x ⊆ A} ↔ (y ∈ Cℋ ∧ y ⊆ A))
13	9, 11, 12	3imtr4 192	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ {x ∈ Atoms∣x ⊆ A} → y ∈ {x ∈ Cℋ ∣x ⊆ A})
14	13	ssriv 1508	. . . . 5 ⊢ {x ∈ Atoms∣x ⊆ A} ⊆ {x ∈ Cℋ ∣x ⊆ A}
15		ssrab 1556	. . . . . 6 ⊢ {x ∈ Cℋ ∣x ⊆ A} ⊆ Cℋ
16		chsupss 5311	. . . . . 6 ⊢ (({x ∈ Atoms∣x ⊆ A} ⊆ Cℋ ∧ {x ∈ Cℋ ∣x ⊆ A} ⊆ Cℋ ) → ({x ∈ Atoms∣x ⊆ A} ⊆ {x ∈ Cℋ ∣x ⊆ A} → ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Cℋ ∣x ⊆ A})))
17	3, 15, 16	mp2an 520	. . . . 5 ⊢ ({x ∈ Atoms∣x ⊆ A} ⊆ {x ∈ Cℋ ∣x ⊆ A} → ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Cℋ ∣x ⊆ A}))
18	14, 17	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Cℋ ∣x ⊆ A})
19		chsupid 5312	. . . . 5 ⊢ (A ∈ Cℋ → ( ∨ℋ ‘{x ∈ Cℋ ∣x ⊆ A}) = A)
20	6, 19	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Cℋ ∣x ⊆ A}) = A
21	18, 20	sseqtr 1532	. . 3 ⊢ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) ⊆ A
22		elssuni 1940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ {x ∈ Atoms∣x ⊆ A} → y ⊆ ∪{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})
23	11, 22	sylbir 176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ Atoms ∧ y ⊆ A) → y ⊆ ∪{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})
24		chsupunss 5317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({x ∈ Atoms∣x ⊆ A} ⊆ Cℋ → ∪{x ∈ Atoms∣x ⊆ A} ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))
25	3, 24	ax-mp 6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪{x ∈ Atoms∣x ⊆ A} ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})
26		sstr2 1510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ⊆ ∪{x ∈ Atoms∣x ⊆ A} → (∪{x ∈ Atoms∣x ⊆ A} ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) → y ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})))
27	25, 26	mpi 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ⊆ ∪{x ∈ Atoms∣x ⊆ A} → y ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))
28	23, 27	syl 12	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ Atoms ∧ y ⊆ A) → y ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))
29	28	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ Atoms → (y ⊆ A → y ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})))
30		atn0 5743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ Atoms → ¬ y = 0ℋ)
31	30	adantr 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ Atoms ∧ y ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})) → ¬ y = 0ℋ)
32		chle0t 5368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ Cℋ → (y ⊆ 0ℋ ↔ y = 0ℋ))
33	8, 32	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ Atoms → (y ⊆ 0ℋ ↔ y = 0ℋ))
34		ssin 1659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) ∧ y ⊆ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))) ↔ y ⊆ (( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) ∩ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))))
35	5	chocin 5376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) ∩ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))) = 0ℋ
36	35	sseq2i 1525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ⊆ (( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) ∩ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))) ↔ y ⊆ 0ℋ)
37	34, 36	bitr2 152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ⊆ 0ℋ ↔ (y ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) ∧ y ⊆ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))))
38	33, 37	syl5bbr 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ Atoms → ((y ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) ∧ y ⊆ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))) ↔ y = 0ℋ))
39	38	biimpa 324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ Atoms ∧ (y ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) ∧ y ⊆ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})))) → y = 0ℋ)
40	39	exp32 294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ Atoms → (y ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) → (y ⊆ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})) → y = 0ℋ)))
41	40	imp 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ Atoms ∧ y ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})) → (y ⊆ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})) → y = 0ℋ))
42	31, 41	mtod 95	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ Atoms ∧ y ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})) → ¬ y ⊆ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})))
43	42	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ Atoms → (y ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) → ¬ y ⊆ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))))
44	29, 43	syld 27	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ Atoms → (y ⊆ A → ¬ y ⊆ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))))
45		imnan 207	. . . . . . 7 ⊢ ((y ⊆ A → ¬ y ⊆ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))) ↔ ¬ (y ⊆ A ∧ y ⊆ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))))
46	44, 45	sylib 173	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ Atoms → ¬ (y ⊆ A ∧ y ⊆ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))))
47		ssin 1659	. . . . . . 7 ⊢ ((y ⊆ A ∧ y ⊆ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))) ↔ y ⊆ (A ∩ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))))
48	47	negbii 162	. . . . . 6 ⊢ (¬ (y ⊆ A ∧ y ⊆ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))) ↔ ¬ y ⊆ (A ∩ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))))
49	46, 48	sylib 173	. . . . 5 ⊢ (y ∈ Atoms → ¬ y ⊆ (A ∩ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))))
50	49	nrex 1270	. . . 4 ⊢ ¬ ∃y ∈ Atoms y ⊆ (A ∩ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})))
51	5	chocl 5192	. . . . . 6 ⊢ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})) ∈ Cℋ
52	6, 51	chincl 5382	. . . . 5 ⊢ (A ∩ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))) ∈ Cℋ
53	52	hatomic 5754	. . . 4 ⊢ (¬ (A ∩ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))) = 0ℋ → ∃y ∈ Atoms y ⊆ (A ∩ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))))
54	50, 53	mt3 99	. . 3 ⊢ (A ∩ (⊥ ‘( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))) = 0ℋ
55	5, 7, 21, 54	omlsi 5250	. 2 ⊢ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}) = A
56	55	cleqcomi 1105	1 ⊢ A = ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  {crab 1204   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  ∪cuni 1919   ‘cfv 2422   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   ∨_ℋ chsup 4973  0_ℋc0h 4974  Atomscat 4980

This theorem is referenced by:  chpssat 5756

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-span 5276  df-chsup 5278  df-cv 5712  df-at 5737

metamath.org