Theorem hbxp 2444

Description: Bound-variable hypothesis builder for cross product.

Hypotheses

Ref	Expression
hbxp.1	⊢ (y ∈ A → ∀x y ∈ A)
hbxp.2	⊢ (y ∈ B → ∀x y ∈ B)

Assertion

Ref	Expression
hbxp	⊢ (y ∈ (A × B) → ∀x y ∈ (A × B))

Distinct variable group(s):   y,A   y,B   x,y

Proof of Theorem hbxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 925	. . . . 5 ⊢ (y = ⟨z, w⟩ → ∀x y = ⟨z, w⟩)
2		ax-17 925	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ z → ∀x y ∈ z)
3		hbxp.1	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ A → ∀x y ∈ A)
4	2, 3	hbel 1172	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ A → ∀x z ∈ A)
5		ax-17 925	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ w → ∀x y ∈ w)
6		hbxp.2	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ B → ∀x y ∈ B)
7	5, 6	hbel 1172	. . . . . 6 ⊢ (w ∈ B → ∀x w ∈ B)
8	4, 7	hban 704	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ A ∧ w ∈ B) → ∀x(z ∈ A ∧ w ∈ B))
9	1, 8	hban 704	. . . 4 ⊢ ((y = ⟨z, w⟩ ∧ (z ∈ A ∧ w ∈ B)) → ∀x(y = ⟨z, w⟩ ∧ (z ∈ A ∧ w ∈ B)))
10	9	hbex 701	. . 3 ⊢ (∃w(y = ⟨z, w⟩ ∧ (z ∈ A ∧ w ∈ B)) → ∀x∃w(y = ⟨z, w⟩ ∧ (z ∈ A ∧ w ∈ B)))
11	10	hbex 701	. 2 ⊢ (∃z∃w(y = ⟨z, w⟩ ∧ (z ∈ A ∧ w ∈ B)) → ∀x∃z∃w(y = ⟨z, w⟩ ∧ (z ∈ A ∧ w ∈ B)))
12		elxp 2442	. 2 ⊢ (y ∈ (A × B) ↔ ∃z∃w(y = ⟨z, w⟩ ∧ (z ∈ A ∧ w ∈ B)))
13	12	bial 695	. 2 ⊢ (∀x y ∈ (A × B) ↔ ∀x∃z∃w(y = ⟨z, w⟩ ∧ (z ∈ A ∧ w ∈ B)))
14	11, 12, 13	3imtr4 192	1 ⊢ (y ∈ (A × B) → ∀x y ∈ (A × B))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   × cxp 2408

This theorem is referenced by:  hbres 2577

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098  df-xp 2424

metamath.org