Theorem hial2eqt 5060

Description: Two vectors whose inner product is always equal are equal.

Assertion

Ref	Expression
hial2eqt	⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (∀x ∈ ℋ (A ·i x) = (B ·i x) ↔ A = B))

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem hial2eqt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubclt 4998	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (A −v B) ∈ ℋ )
2		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (x = (A −v B) → (A ·i x) = (A ·i (A −v B)))
3		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (x = (A −v B) → (B ·i x) = (B ·i (A −v B)))
4	2, 3	cleq12d 1115	. . . . . 6 ⊢ (x = (A −v B) → ((A ·i x) = (B ·i x) ↔ (A ·i (A −v B)) = (B ·i (A −v B))))
5	4	rcla4v 1402	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ ℋ (A ·i x) = (B ·i x) → ((A −v B) ∈ ℋ → (A ·i (A −v B)) = (B ·i (A −v B))))
6	5	com12 13	. . . 4 ⊢ ((A −v B) ∈ ℋ → (∀x ∈ ℋ (A ·i x) = (B ·i x) → (A ·i (A −v B)) = (B ·i (A −v B))))
7	1, 6	syl 12	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (∀x ∈ ℋ (A ·i x) = (B ·i x) → (A ·i (A −v B)) = (B ·i (A −v B))))
8		hi2eqt 5059	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → ((A ·i (A −v B)) = (B ·i (A −v B)) ↔ A = B))
9	7, 8	sylibd 177	. 2 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (∀x ∈ ℋ (A ·i x) = (B ·i x) → A = B))
10		opreq1 3006	. . . . 5 ⊢ (A = B → (A ·i x) = (B ·i x))
11	10	a1d 14	. . . 4 ⊢ (A = B → (x ∈ ℋ → (A ·i x) = (B ·i x)))
12	11	r19.21aiv 1259	. . 3 ⊢ (A = B → ∀x ∈ ℋ (A ·i x) = (B ·i x))
13	12	a1i 7	. 2 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (A = B → ∀x ∈ ℋ (A ·i x) = (B ·i x)))
14	9, 13	impbid 397	1 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (∀x ∈ ℋ (A ·i x) = (B ·i x) ↔ A = B))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   −_v cmv 4962   ·_i csp 4963

This theorem is referenced by:  pjss2co 5634  pj3cor1 5661

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-hvsub 4996

metamath.org