Theorem hizer1t 5054

Description: Inner product with the 0 vector.

Assertion

Ref	Expression
hizer1t	⊢ (A ∈ ℋ → (0v ·i A) = 0)

Proof of Theorem hizer1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvzercl 4987	. . . 4 ⊢ 0v ∈ ℋ
2		0cn 4100	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		ax-his) 5047	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0v ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ → ((0 ·s 0v) ·i A) = (0 · (0v ·i A)))
4	2, 3	mp3an1 639	. . . 4 ⊢ ((0v ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ) → ((0 ·s 0v) ·i A) = (0 · (0v ·i A)))
5	1, 4	mpan 518	. . 3 ⊢ (A ∈ ℋ → ((0 ·s 0v) ·i A) = (0 · (0v ·i A)))
6		ax-hvmulzer 4995	. . . . 5 ⊢ (0v ∈ ℋ → (0 ·s 0v) = 0v)
7	1, 6	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ (0 ·s 0v) = 0v
8	7	opreq1i 3009	. . 3 ⊢ ((0 ·s 0v) ·i A) = (0v ·i A)
9	5, 8	syl5eqr 1138	. 2 ⊢ (A ∈ ℋ → (0v ·i A) = (0 · (0v ·i A)))
10		ax-hicl 5043	. . . 4 ⊢ ((0v ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ) → (0v ·i A) ∈ ℂ)
11	1, 10	mpan 518	. . 3 ⊢ (A ∈ ℋ → (0v ·i A) ∈ ℂ)
12		mulzer2t 4189	. . 3 ⊢ ((0v ·i A) ∈ ℂ → (0 · (0v ·i A)) = 0)
13	11, 12	syl 12	. 2 ⊢ (A ∈ ℋ → (0 · (0v ·i A)) = 0)
14	9, 13	eqtrd 1128	1 ⊢ (A ∈ ℋ → (0v ·i A) = 0)

Syntax hints:   → wi 2   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028   · cmulc 4032   ℋ chil 4958   ·_s csm 4960  0_vc0v 4961   ·_i csp 4963

This theorem is referenced by:  hizer2t 5055  hiidge0t 5056  his6 5057  hial0 5058  normgt0t 5078  norm0 5079  ocsh 5164  pjthlem13 5237

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676 &ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799/SPAN>  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his3 5047

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-sub 4133  df-neg 4135

metamath.org