Theorem hlimuni 5144

Description: A Hilbert space sequence converges to at most one limit.

Hypotheses

Ref	Expression
hlimuni.1	⊢ A ∈ V
hlimuni.2	⊢ B ∈ V
hlimuni.3	⊢ F ∈ V

Assertion

Ref	Expression
hlimuni	⊢ ((F ⇝v A ∧ F ⇝v B) → A = B)

Proof of Theorem hlimuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cleq1 1107	. 2 ⊢ (A = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) → (A = B ↔ if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) = B))
2		cleq2 1110	. 2 ⊢ (B = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v) → (if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) = B ↔ if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v)))
3		hlimuni.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
4		ax-hvzercl 4987	. . . . 5 ⊢ 0v ∈ ℋ
5	4	elisseti 1355	. . . 4 ⊢ 0v ∈ V
6	3, 5	keepel 1796	. . 3 ⊢ if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) ∈ V
7		hlimuni.2	. . . 4 ⊢ B ∈ V
8	7, 5	keepel 1796	. . 3 ⊢ if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v) ∈ V
9		hlimuni.3	. . . 4 ⊢ F ∈ V
10		nnex 4431	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
11		snex 1859	. . . . 5 ⊢ {0v} ∈ V
12	10, 11	xpex 2488	. . . 4 ⊢ (ℕ × {0v}) ∈ V
13	9, 12	keepel 1796	. . 3 ⊢ if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) ∈ V
14		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (A = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) → (F ⇝v A ↔ F ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v)))
15	14	anbi1d 469	. . . 4 ⊢ (A = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) → ((F ⇝v A ∧ F ⇝v B) ↔ (F ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) ∧ F ⇝v B)))
16		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (B = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v) → (F ⇝v B ↔ F ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v)))
17	16	anbi2d 468	. . . 4 ⊢ (B = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v) → ((F ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) ∧ F ⇝v B) ↔ (F ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) ∧ F ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v))))
18		breq1 2065	. . . . 5 ⊢ (F = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) → (F ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) ↔ if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v)))
19		breq1 2065	. . . . 5 ⊢ (F = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) → (F ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v) ↔ if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v)))
20	18, 19	anbi12d 476	. . . 4 ⊢ (F = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) → ((F ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) ∧ F ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v)) ↔ (if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) ∧ if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v))))
21		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (0v = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) → ((ℕ × {0v}) ⇝v 0v ↔ (ℕ × {0v}) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v)))
22	21	anbi1d 469	. . . 4 ⊢ (0v = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) → (((ℕ × {0v}) ⇝v 0v ∧ (ℕ × {0v}) ⇝v 0v) ↔ ((ℕ × {0v}) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) ∧ (ℕ × {0v}) ⇝v 0v)))
23		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (0v = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v) → ((ℕ × {0v}) ⇝v 0v ↔ (ℕ × {0v}) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v)))
24	23	anbi2d 468	. . . 4 ⊢ (0v = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v) → (((ℕ × {0v}) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) ∧ (ℕ × {0v}) ⇝v 0v) ↔ ((ℕ × {0v}) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) ∧ (ℕ × {0v}) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v))))
25		breq1 2065	. . . . 5 ⊢ ((ℕ × {0v}) = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) → ((ℕ × {0v}) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) ↔ if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v)))
26		breq1 2065	. . . . 5 ⊢ ((ℕ × {0v}) = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) → ((ℕ × {0v}) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v) ↔ if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v)))
27	25, 26	anbi12d 476	. . . 4 ⊢ ((ℕ × {0v}) = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) → (((ℕ × {0v}) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) ∧ (ℕ × {0v}) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v)) ↔ (if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) ∧ if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v))))
28		hlim0 5140	. . . . 5 ⊢ (ℕ × {0v}) ⇝v 0v
29	28, 28	pm3.2i 234	. . . 4 ⊢ ((ℕ × {0v}) ⇝v 0v ∧ (ℕ × {0v}) ⇝v 0v)
30	15, 17, 20, 22, 24, 27, 29	elimhyp3v 1792	. . 3 ⊢ (if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) ∧ if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), F, (ℕ × {0v})) ⇝v if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v))
31	6, 8, 13, 30	hlimunii 5143	. 2 ⊢ if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), A, 0v) = if((F ⇝v A ∧ F ⇝v B), B, 0v)
32	1, 2, 31	dedth2v 1785	1 ⊢ ((F ⇝v A ∧ F ⇝v B) → A = B)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ifcif 1776  {csn 1808   class class class wbr 2054   × cxp 2408  ℕcn 4093   ℋ chil 4958  0_vc0v 4961   ⇝_v chli 4966

This theorem is referenced by:  hlimreu 5145  hlimeu 5146  hsn0elch 5155

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-hlim 5107

metamath.org