Theorem hoco 5598

Description: Composition of Hilbert space operators.

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	⊢ S: ℋ –→ ℋ
hoeq.2	⊢ T: ℋ –→ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hoco	⊢ (A ∈ ℋ → ((S ∘ T) ‘A) = (S ‘(T ‘A)))

Proof of Theorem hoco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.1	. . . 4 ⊢ S: ℋ –→ ℋ
2		ffun 2754	. . . 4 ⊢ (S: ℋ –→ ℋ → Fun S)
3	1, 2	ax-mp 6	. . 3 ⊢ Fun S
4		hoeq.2	. . . 4 ⊢ T: ℋ –→ ℋ
5		ffun 2754	. . . 4 ⊢ (T: ℋ –→ ℋ → Fun T)
6	4, 5	ax-mp 6	. . 3 ⊢ Fun T
7	3, 6	pm3.2i 234	. 2 ⊢ (Fun S ∧ Fun T)
8		fvco 2865	. . 3 ⊢ (((Fun S ∧ Fun T) ∧ A ∈ dom T) → ((S ∘ T) ‘A) = (S ‘(T ‘A)))
9		fdm 2756	. . . . 5 ⊢ (T: ℋ –→ ℋ → dom T = ℋ )
10	4, 9	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ dom T = ℋ
11	10	eleq2i 1153	. . 3 ⊢ (A ∈ dom T ↔ A ∈ ℋ )
12	8, 11	sylan2br 348	. 2 ⊢ (((Fun S ∧ Fun T) ∧ A ∈ ℋ ) → ((S ∘ T) ‘A) = (S ‘(T ‘A)))
13	7, 12	mpan 518	1 ⊢ (A ∈ ℋ → ((S ∘ T) ‘A) = (S ‘(T ‘A)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  dom cdm 2410   ∘ ccom 2414  Fun wfun 2416  –→wf 2418   ‘cfv 2422   ℋ chil 4958

This theorem is referenced by:  hococl 5599  hosdir 5609  hoddir 5610  ho2co 5611  hoid1 5617  hoid1r 5618  pjsdi 5625  pjddi 5626  pjco 5628  pjcohocl 5655  pjadj2co 5656  pj3lem1 5658

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438

metamath.org