Theorem hodf 5603

Description: Mapping of difference of Hilbert space operators.

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	⊢ S: ℋ –→ ℋ
hoeq.2	⊢ T: ℋ –→ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hodf	⊢ (S −P T): ℋ –→ ℋ

Proof of Theorem hodf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubclt 4998	. . . 4 ⊢ (((S ‘x) ∈ ℋ ∧ (T ‘x) ∈ ℋ ) → ((S ‘x) −v (T ‘x)) ∈ ℋ )
2		hoeq.1	. . . . 5 ⊢ S: ℋ –→ ℋ
3	2	hocl 5594	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℋ → (S ‘x) ∈ ℋ )
4		hoeq.2	. . . . 5 ⊢ T: ℋ –→ ℋ
5	4	hocl 5594	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℋ → (T ‘x) ∈ ℋ )
6	1, 3, 5	sylanc 361	. . 3 ⊢ (x ∈ ℋ → ((S ‘x) −v (T ‘x)) ∈ ℋ )
7	6	rgen 1247	. 2 ⊢ ∀x ∈ ℋ ((S ‘x) −v (T ‘x)) ∈ ℋ
8		hodmvalt 5488	. . . 4 ⊢ ((S: ℋ –→ ℋ ∧ T: ℋ –→ ℋ ) → (S −P T) = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (T ‘x)))})
9	2, 4, 8	mp2an 520	. . 3 ⊢ (S −P T) = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (T ‘x)))}
10	9	fopab2 2891	. 2 ⊢ (∀x ∈ ℋ ((S ‘x) −v (T ‘x)) ∈ ℋ ↔ (S −P T): ℋ –→ ℋ )
11	7, 10	mpbi 164	1 ⊢ (S −P T): ℋ –→ ℋ

Syntax hints:   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  {copab 2055  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   −_v cmv 4962   −_P cpjd 4978

This theorem is referenced by:  hods 5606  hoddir 5610  hodseq 5619  hods0 5620  hosdass 5621  hosd 5622  hosd1 5623  pjddi 5626

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvmulcl 4989

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-sub 4133  df-neg 4135  df-hvsub 4996  df-pjdif 5486

metamath.org