Theorem hodmvalt 5488

Description: Value of difference of two Hilbert space operators.

Assertion

Ref	Expression
hodmvalt	⊢ ((S: ℋ –→ ℋ ∧ T: ℋ –→ ℋ ) → (S −P T) = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (T ‘x)))})

Distinct variable group(s):   x,y,S   x,T,y

Proof of Theorem hodmvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 4983	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
2		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ ((S ‘x) −v (T ‘x)) ∈ V
3		cleqid 1102	. . . . 5 ⊢ {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (T ‘x)))} = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (T ‘x)))}
4	2, 3	fnopab2 2747	. . . 4 ⊢ {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (T ‘x)))} Fn ℋ
5		fnex 2740	. . . 4 ⊢ ( ℋ ∈ V → ({⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (T ‘x)))} Fn ℋ → {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (T ‘x)))} ∈ V))
6	1, 4, 5	mp2 43	. . 3 ⊢ {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (T ‘x)))} ∈ V
7		fveq1 2831	. . . . . . 7 ⊢ (f = S → (f ‘x) = (S ‘x))
8	7	opreq1d 3012	. . . . . 6 ⊢ (f = S → ((f ‘x) −v (g ‘x)) = ((S ‘x) −v (g ‘x)))
9	8	cleq2d 1112	. . . . 5 ⊢ (f = S → (y = ((f ‘x) −v (g ‘x)) ↔ y = ((S ‘x) −v (g ‘x))))
10	9	anbi2d 468	. . . 4 ⊢ (f = S → ((x ∈ ℋ ∧ y = ((f ‘x) −v (g ‘x))) ↔ (x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (g ‘x)))))
11	10	biopabdv 2102	. . 3 ⊢ (f = S → {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((f ‘x) −v (g ‘x)))} = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (g ‘x)))})
12		fveq1 2831	. . . . . . 7 ⊢ (g = T → (g ‘x) = (T ‘x))
13	12	opreq2d 3013	. . . . . 6 ⊢ (g = T → ((S ‘x) −v (g ‘x)) = ((S ‘x) −v (T ‘x)))
14	13	cleq2d 1112	. . . . 5 ⊢ (g = T → (y = ((S ‘x) −v (g ‘x)) ↔ y = ((S ‘x) −v (T ‘x))))
15	14	anbi2d 468	. . . 4 ⊢ (g = T → ((x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (g ‘x))) ↔ (x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (T ‘x)))))
16	15	biopabdv 2102	. . 3 ⊢ (g = T → {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (g ‘x)))} = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (T ‘x)))})
17		df-pjdif 5486	. . . 4 ⊢ −P = {⟨⟨f, g⟩, h⟩∣((f: ℋ –→ ℋ ∧ g: ℋ –→ ℋ ) ∧ h = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((f ‘x) −v (g ‘x)))})}
18		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ f ∈ V
19		feq1 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (x = f → (x: ℋ –→ ℋ ↔ f: ℋ –→ ℋ ))
20	18, 19	elab 1415	. . . . . . 7 ⊢ (f ∈ {x∣x: ℋ –→ ℋ } ↔ f: ℋ –→ ℋ )
21		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ g ∈ V
22		feq1 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (x = g → (x: ℋ –→ ℋ ↔ g: ℋ –→ ℋ ))
23	21, 22	elab 1415	. . . . . . 7 ⊢ (g ∈ {x∣x: ℋ –→ ℋ } ↔ g: ℋ –→ ℋ )
24	20, 23	anbi12i 369	. . . . . 6 ⊢ ((f ∈ {x∣x: ℋ –→ ℋ } ∧ g ∈ {x∣x: ℋ –→ ℋ }) ↔ (f: ℋ –→ ℋ ∧ g: ℋ –→ ℋ ))
25	24	anbi1i 368	. . . . 5 ⊢ (((f ∈ {x∣x: ℋ –→ ℋ } ∧ g ∈ {x∣x: ℋ –→ ℋ }) ∧ h = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((f ‘x) −v (g ‘x)))}) ↔ ((f: ℋ –→ ℋ ∧ g: ℋ –→ ℋ ) ∧ h = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((f ‘x) −v (g ‘x)))}))
26	25	bioprabi 3027	. . . 4 ⊢ {⟨⟨f, g⟩, h⟩∣((f ∈ {x∣x: ℋ –→ ℋ } ∧ g ∈ {x∣x: ℋ –→ ℋ }) ∧ h = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((f ‘x) −v (g ‘x)))})} = {⟨⟨f, g⟩, h⟩∣((f: ℋ –→ ℋ ∧ g: ℋ –→ ℋ ) ∧ h = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((f ‘x) −v (g ‘x)))})}
27	17, 26	eqtr4 1122	. . 3 ⊢ −P = {⟨⟨f, g⟩, h⟩∣((f ∈ {x∣x: ℋ –→ ℋ } ∧ g ∈ {x∣x: ℋ –→ ℋ }) ∧ h = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((f ‘x) −v (g ‘x)))})}
28	6, 11, 16, 27	oprabval2 3051	. 2 ⊢ ((S ∈ {x∣x: ℋ –→ ℋ } ∧ T ∈ {x∣x: ℋ –→ ℋ }) → (S −P T) = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (T ‘x)))})
29		fex 2771	. . . 4 ⊢ ( ℋ ∈ V → (S: ℋ –→ ℋ → S ∈ V))
30	1, 29	ax-mp 6	. . 3 ⊢ (S: ℋ –→ ℋ → S ∈ V)
31		feq1 2748	. . 3 ⊢ (x = S → (x: ℋ –→ ℋ ↔ S: ℋ –→ ℋ ))
32	30, 31	elab3g 1420	. 2 ⊢ (S ∈ {x∣x: ℋ –→ ℋ } ↔ S: ℋ –→ ℋ )
33		fex 2771	. . . 4 ⊢ ( ℋ ∈ V → (T: ℋ –→ ℋ → T ∈ V))
34	1, 33	ax-mp 6	. . 3 ⊢ (T: ℋ –→ ℋ → T ∈ V)
35		feq1 2748	. . 3 ⊢ (x = T → (x: ℋ –→ ℋ ↔ T: ℋ –→ ℋ ))
36	34, 35	elab3g 1420	. 2 ⊢ (T ∈ {x∣x: ℋ –→ ℋ } ↔ T: ℋ –→ ℋ )
37	28, 32, 36	syl2anbr 351	1 ⊢ ((S: ℋ –→ ℋ ∧ T: ℋ –→ ℋ ) → (S −P T) = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ∧ y = ((S ‘x) −v (T ‘x)))})

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  {copab 2055   Fn wfn 2417  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  {copab2 3002   ℋ chil 4958   −_v cmv 4962   −_P cpjd 4978

This theorem is referenced by:  hodvalt 5490  hodf 5603

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-pjdif 5486

metamath.org