Theorem hods 5606

Description: Relationship between Hilbert space operator difference and sum.

Hypotheses

Ref	Expression
hods.1	⊢ R: ℋ –→ ℋ
hods.2	⊢ S: ℋ –→ ℋ
hods.3	⊢ T: ℋ –→ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hods	⊢ ((R −P S) = T ↔ (S +P T) = R)

Proof of Theorem hods

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubaddt 5042	. . . . 5 ⊢ (((R ‘x) ∈ ℋ ∧ (S ‘x) ∈ ℋ ∧ (T ‘x) ∈ ℋ ) → (((R ‘x) −v (S ‘x)) = (T ‘x) ↔ ((S ‘x) +v (T ‘x)) = (R ‘x)))
2		hods.1	. . . . . 6 ⊢ R: ℋ –→ ℋ
3	2	hocl 5594	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℋ → (R ‘x) ∈ ℋ )
4		hods.2	. . . . . 6 ⊢ S: ℋ –→ ℋ
5	4	hocl 5594	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℋ → (S ‘x) ∈ ℋ )
6		hods.3	. . . . . 6 ⊢ T: ℋ –→ ℋ
7	6	hocl 5594	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℋ → (T ‘x) ∈ ℋ )
8	1, 3, 5, 7	syl3anc 629	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℋ → (((R ‘x) −v (S ‘x)) = (T ‘x) ↔ ((S ‘x) +v (T ‘x)) = (R ‘x)))
9	2, 4	pm3.2i 234	. . . . . 6 ⊢ (R: ℋ –→ ℋ ∧ S: ℋ –→ ℋ )
10		hodvalt 5490	. . . . . 6 ⊢ (((R: ℋ –→ ℋ ∧ S: ℋ –→ ℋ ) ∧ x ∈ ℋ ) → ((R −P S) ‘x) = ((R ‘x) −v (S ‘x)))
11	9, 10	mpan 518	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℋ → ((R −P S) ‘x) = ((R ‘x) −v (S ‘x)))
12	11	cleq1d 1109	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℋ → (((R −P S) ‘x) = (T ‘x) ↔ ((R ‘x) −v (S ‘x)) = (T ‘x)))
13	4, 6	pm3.2i 234	. . . . . 6 ⊢ (S: ℋ –→ ℋ ∧ T: ℋ –→ ℋ )
14		hosvalt 5489	. . . . . 6 ⊢ (((S: ℋ –→ ℋ ∧ T: ℋ –→ ℋ ) ∧ x ∈ ℋ ) → ((S +P T) ‘x) = ((S ‘x) +v (T ‘x)))
15	13, 14	mpan 518	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℋ → ((S +P T) ‘x) = ((S ‘x) +v (T ‘x)))
16	15	cleq1d 1109	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℋ → (((S +P T) ‘x) = (R ‘x) ↔ ((S ‘x) +v (T ‘x)) = (R ‘x)))
17	8, 12, 16	3bitr4d 424	. . 3 ⊢ (x ∈ ℋ → (((R −P S) ‘x) = (T ‘x) ↔ ((S +P T) ‘x) = (R ‘x)))
18	17	birala 1228	. 2 ⊢ (∀x ∈ ℋ ((R −P S) ‘x) = (T ‘x) ↔ ∀x ∈ ℋ ((S +P T) ‘x) = (R ‘x))
19	2, 4	hodf 5603	. . 3 ⊢ (R −P S): ℋ –→ ℋ
20	19, 6	hoeq 5595	. 2 ⊢ (∀x ∈ ℋ ((R −P S) ‘x) = (T ‘x) ↔ (R −P S) = T)
21	4, 6	hosf 5602	. . 3 ⊢ (S +P T): ℋ –→ ℋ
22	21, 2	hoeq 5595	. 2 ⊢ (∀x ∈ ℋ ((S +P T) ‘x) = (R ‘x) ↔ (S +P T) = R)
23	18, 20, 22	3bitr3 156	1 ⊢ ((R −P S) = T ↔ (S +P T) = R)

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   −_v cmv 4962   +_P chos 4977   −_P cpjd 4978

This theorem is referenced by:  hodid 5616  hodseq 5619  hods0 5620  hosd1 5623  pjoc 5645

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-sub 4133  df-neg 4135  df-hvsub 4996  df-hosum 5485  df-pjdif 5486

metamath.org