Theorem hosclt 5491

Description: Closure of sum of two Hilbert space operators.

Assertion

Ref	Expression
hosclt	⊢ (((S: ℋ –→ ℋ ∧ T: ℋ –→ ℋ ) ∧ A ∈ ℋ ) → ((S +P T) ‘A) ∈ ℋ )

Proof of Theorem hosclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hosvalt 5489	. 2 ⊢ (((S: ℋ –→ ℋ ∧ T: ℋ –→ ℋ ) ∧ A ∈ ℋ ) → ((S +P T) ‘A) = ((S ‘A) +v (T ‘A)))
2		ffvrn 2890	. . . . 5 ⊢ ((S: ℋ –→ ℋ ∧ A ∈ ℋ ) → (S ‘A) ∈ ℋ )
3		ffvrn 2890	. . . . 5 ⊢ ((T: ℋ –→ ℋ ∧ A ∈ ℋ ) → (T ‘A) ∈ ℋ )
4	2, 3	anim12i 268	. . . 4 ⊢ (((S: ℋ –→ ℋ ∧ A ∈ ℋ ) ∧ (T: ℋ –→ ℋ ∧ A ∈ ℋ )) → ((S ‘A) ∈ ℋ ∧ (T ‘A) ∈ ℋ ))
5	4	anandirs 395	. . 3 ⊢ (((S: ℋ –→ ℋ ∧ T: ℋ –→ ℋ ) ∧ A ∈ ℋ ) → ((S ‘A) ∈ ℋ ∧ (T ‘A) ∈ ℋ ))
6		ax-hvaddcl 4984	. . 3 ⊢ (((S ‘A) ∈ ℋ ∧ (T ‘A) ∈ ℋ ) → ((S ‘A) +v (T ‘A)) ∈ ℋ )
7	5, 6	syl 12	. 2 ⊢ (((S: ℋ –→ ℋ ∧ T: ℋ –→ ℋ ) ∧ A ∈ ℋ ) → ((S ‘A) +v (T ‘A)) ∈ ℋ )
8	1, 7	eqeltrd 1163	1 ⊢ (((S: ℋ –→ ℋ ∧ T: ℋ –→ ℋ ) ∧ A ∈ ℋ ) → ((S +P T) ‘A) ∈ ℋ )

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   +_P chos 4977

This theorem is referenced by:  hoscl 5596

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-hosum 5485

metamath.org