Theorem hosfn 5604

Description: Functionality of sum of Hilbert space operators.

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	⊢ S: ℋ –→ ℋ
hoeq.2	⊢ T: ℋ –→ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hosfn	⊢ (S +P T) Fn ℋ

Proof of Theorem hosfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.1	. . 3 ⊢ S: ℋ –→ ℋ
2		hoeq.2	. . 3 ⊢ T: ℋ –→ ℋ
3	1, 2	hosf 5602	. 2 ⊢ (S +P T): ℋ –→ ℋ
4		ffn 2752	. 2 ⊢ ((S +P T): ℋ –→ ℋ → (S +P T) Fn ℋ )
5	3, 4	ax-mp 6	1 ⊢ (S +P T) Fn ℋ

Syntax hints:   Fn wfn 2417  –→wf 2418  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_P chos 4977

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-hosum 5485

metamath.org