Theorem hsn0elch 5155

Description: The zero subspace belongs to the set of closed subspaces of Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
hsn0elch	⊢ {0v} ∈ Cℋ

Proof of Theorem hsn0elch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvzercl 4987	. . . . . . 7 ⊢ 0v ∈ ℋ
2		snssi 1851	. . . . . . 7 ⊢ (0v ∈ ℋ → {0v} ⊆ ℋ )
3	1, 2	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ {0v} ⊆ ℋ
4	1	elisseti 1355	. . . . . . 7 ⊢ 0v ∈ V
5	4	snid 1830	. . . . . 6 ⊢ 0v ∈ {0v}
6	3, 5	pm3.2i 234	. . . . 5 ⊢ ({0v} ⊆ ℋ ∧ 0v ∈ {0v})
7		opreq12 3008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x = 0v ∧ y = 0v) → (x +v y) = (0v +v 0v))
8	1	hvaddid2 5008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0v +v 0v) = 0v
9	7, 8	syl6eq 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x = 0v ∧ y = 0v) → (x +v y) = 0v)
10		oprex 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x +v y) ∈ V
11	10	elsnc 1826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x +v y) ∈ {0v} ↔ (x +v y) = 0v)
12	9, 11	sylibr 175	. . . . . . . 8 ⊢ ((x = 0v ∧ y = 0v) → (x +v y) ∈ {0v})
13		elsn 1820	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ {0v} ↔ x = 0v)
14		elsn 1820	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ {0v} ↔ y = 0v)
15	12, 13, 14	syl2anb 350	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ {0v} ∧ y ∈ {0v}) → (x +v y) ∈ {0v})
16	15	rgen2 1248	. . . . . 6 ⊢ ∀x ∈ {0v}∀y ∈ {0v} (x +v y) ∈ {0v}
17		opreq2 3007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = 0v → (x ·s y) = (x ·s 0v))
18		hvmul0t 5004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ ℂ → (x ·s 0v) = 0v)
19	17, 18	sylan9eqr 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ y = 0v) → (x ·s y) = 0v)
20		oprex 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ·s y) ∈ V
21	20	elsnc 1826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ·s y) ∈ {0v} ↔ (x ·s y) = 0v)
22	19, 21	sylibr 175	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ y = 0v) → (x ·s y) ∈ {0v})
23	22, 14	sylan2b 347	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ {0v}) → (x ·s y) ∈ {0v})
24	23	rgen2a 1264	. . . . . 6 ⊢ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ {0v} (x ·s y) ∈ {0v}
25	16, 24	pm3.2i 234	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ {0v}∀y ∈ {0v} (x +v y) ∈ {0v} ∧ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ {0v} (x ·s y) ∈ {0v})
26	6, 25	pm3.2i 234	. . . 4 ⊢ (({0v} ⊆ ℋ ∧ 0v ∈ {0v}) ∧ (∀x ∈ {0v}∀y ∈ {0v} (x +v y) ∈ {0v} ∧ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ {0v} (x ·s y) ∈ {0v}))
27		sh 5116	. . . 4 ⊢ ({0v} ∈ Sℋ ↔ (({0v} ⊆ ℋ ∧ 0v ∈ {0v}) ∧ (∀x ∈ {0v}∀y ∈ {0v} (x +v y) ∈ {0v} ∧ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ {0v} (x ·s y) ∈ {0v})))
28	26, 27	mpbir 165	. . 3 ⊢ {0v} ∈ Sℋ
29		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ x ∈ V
30		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ f ∈ V
31	4, 29, 30	hlimuni 5144	. . . . . . 7 ⊢ ((f ⇝v 0v ∧ f ⇝v x) → 0v = x)
32	31	eleq1d 1155	. . . . . 6 ⊢ ((f ⇝v 0v ∧ f ⇝v x) → (0v ∈ {0v} ↔ x ∈ {0v}))
33	4	fconst2 2902	. . . . . . 7 ⊢ (f:ℕ–→{0v} ↔ f = (ℕ × {0v}))
34		hlim0 5140	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × {0v}) ⇝v 0v
35		breq1 2065	. . . . . . . 8 ⊢ (f = (ℕ × {0v}) → (f ⇝v 0v ↔ (ℕ × {0v}) ⇝v 0v))
36	34, 35	mpbiri 169	. . . . . . 7 ⊢ (f = (ℕ × {0v}) → f ⇝v 0v)
37	33, 36	sylbi 174	. . . . . 6 ⊢ (f:ℕ–→{0v} → f ⇝v 0v)
38	32, 37	sylan 343	. . . . 5 ⊢ ((f:ℕ–→{0v} ∧ f ⇝v x) → (0v ∈ {0v} ↔ x ∈ {0v}))
39	5, 38	mpbii 168	. . . 4 ⊢ ((f:ℕ–→{0v} ∧ f ⇝v x) → x ∈ {0v})
40	39	gen2 681	. . 3 ⊢ ∀f∀x((f:ℕ–→{0v} ∧ f ⇝v x) → x ∈ {0v})
41	28, 40	pm3.2i 234	. 2 ⊢ ({0v} ∈ Sℋ ∧ ∀f∀x((f:ℕ–→{0v} ∧ f ⇝v x) → x ∈ {0v}))
42		closedsub 5128	. 2 ⊢ ({0v} ∈ Cℋ ↔ ({0v} ∈ Sℋ ∧ ∀f∀x((f:ℕ–→{0v} ∧ f ⇝v x) → x ∈ {0v})))
43	41, 42	mpbir 165	1 ⊢ {0v} ∈ Cℋ

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ⊆ wss 1487  {csn 1808   class class class wbr 2054   × cxp 2408  –→wf 2418  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℕcn 4093   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   ·_s csm 4960  0_vc0v 4961   ⇝_v chli 4966   S_ℋ csh 4967   C_ℋ cch 4968

This theorem is referenced by:  h0elch 5159  h1de2ctlem 5460

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127

metamath.org