Theorem hsupval2t 5301

Description: Value of supremum of set of subsets of Hilbert space. Definition of supremum in Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65.

Assertion

Ref	Expression
hsupval2t	⊢ (A ⊆ ℘ ℋ → ( ∨ℋ ‘A) = ∩{x ∈ Cℋ ∣∪A ⊆ x})

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem hsupval2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 1927	. . . . . 6 ⊢ (z = A → ∪z = ∪A)
2	1	sseq1d 1527	. . . . 5 ⊢ (z = A → (∪z ⊆ x ↔ ∪A ⊆ x))
3	2	birabsdv 1344	. . . 4 ⊢ (z = A → {x ∈ Cℋ ∣∪z ⊆ x} = {x ∈ Cℋ ∣∪A ⊆ x})
4	3	inteqd 1970	. . 3 ⊢ (z = A → ∩{x ∈ Cℋ ∣∪z ⊆ x} = ∩{x ∈ Cℋ ∣∪A ⊆ x})
5		dfchsup2 5299	. . . 4 ⊢ ∨ℋ = {⟨z, y⟩∣(z ⊆ ℘ ℋ ∧ y = ∩{x ∈ Cℋ ∣∪z ⊆ x})}
6		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ z ∈ V
7	6	elpw 1801	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ ℘℘ ℋ ↔ z ⊆ ℘ ℋ )
8	7	anbi1i 368	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ ℘℘ ℋ ∧ y = ∩{x ∈ Cℋ ∣∪z ⊆ x}) ↔ (z ⊆ ℘ ℋ ∧ y = ∩{x ∈ Cℋ ∣∪z ⊆ x}))
9	8	biopabi 2103	. . . 4 ⊢ {⟨z, y⟩∣(z ∈ ℘℘ ℋ ∧ y = ∩{x ∈ Cℋ ∣∪z ⊆ x})} = {⟨z, y⟩∣(z ⊆ ℘ ℋ ∧ y = ∩{x ∈ Cℋ ∣∪z ⊆ x})}
10	5, 9	eqtr4 1122	. . 3 ⊢ ∨ℋ = {⟨z, y⟩∣(z ∈ ℘℘ ℋ ∧ y = ∩{x ∈ Cℋ ∣∪z ⊆ x})}
11	4, 10	fvopab4g 2870	. 2 ⊢ ((A ∈ ℘℘ ℋ ∧ ∩{x ∈ Cℋ ∣∪A ⊆ x} ∈ V) → ( ∨ℋ ‘A) = ∩{x ∈ Cℋ ∣∪A ⊆ x})
12		ax-hilex 4983	. . . . 5 ⊢ ℋ ∈ V
13	12	pwex 1806	. . . 4 ⊢ ℘ ℋ ∈ V
14		elpw2g 1803	. . . 4 ⊢ (℘ ℋ ∈ V → (A ∈ ℘℘ ℋ ↔ A ⊆ ℘ ℋ ))
15	13, 14	ax-mp 6	. . 3 ⊢ (A ∈ ℘℘ ℋ ↔ A ⊆ ℘ ℋ )
16	15	biimpr 134	. 2 ⊢ (A ⊆ ℘ ℋ → A ∈ ℘℘ ℋ )
17		uniss 1936	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊆ ℘ ℋ → ∪A ⊆ ∪℘ ℋ )
18		unipw 1960	. . . . . . 7 ⊢ ∪℘ ℋ = ℋ
19	17, 18	syl6ss 1546	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ ℘ ℋ → ∪A ⊆ ℋ )
20		helch 5151	. . . . . 6 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
21	19, 20	jctil 240	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ ℘ ℋ → ( ℋ ∈ Cℋ ∧ ∪A ⊆ ℋ ))
22		sseq2 1522	. . . . . 6 ⊢ (x = ℋ → (∪A ⊆ x ↔ ∪A ⊆ ℋ ))
23	22	elrab 1422	. . . . 5 ⊢ ( ℋ ∈ {x ∈ Cℋ ∣∪A ⊆ x} ↔ ( ℋ ∈ Cℋ ∧ ∪A ⊆ ℋ ))
24	21, 23	sylibr 175	. . . 4 ⊢ (A ⊆ ℘ ℋ → ℋ ∈ {x ∈ Cℋ ∣∪A ⊆ x})
25		n0i 1712	. . . 4 ⊢ ( ℋ ∈ {x ∈ Cℋ ∣∪A ⊆ x} → ¬ {x ∈ Cℋ ∣∪A ⊆ x} = ∅)
26	24, 25	syl 12	. . 3 ⊢ (A ⊆ ℘ ℋ → ¬ {x ∈ Cℋ ∣∪A ⊆ x} = ∅)
27		intex 1986	. . 3 ⊢ (¬ {x ∈ Cℋ ∣∪A ⊆ x} = ∅ ↔ ∩{x ∈ Cℋ ∣∪A ⊆ x} ∈ V)
28	26, 27	sylib 173	. 2 ⊢ (A ⊆ ℘ ℋ → ∩{x ∈ Cℋ ∣∪A ⊆ x} ∈ V)
29	11, 16, 28	sylanc 361	1 ⊢ (A ⊆ ℘ ℋ → ( ∨ℋ ‘A) = ∩{x ∈ Cℋ ∣∪A ⊆ x})

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  {crab 1204  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ℘cpw 1798  ∪cuni 1919  ∩cint 1965  {copab 2055   ‘cfv 2422   ℋ chil 4958   C_ℋ cch 4968   ∨_ℋ chsup 4973

This theorem is referenced by:  hsupvalt 5302  chsupval2t 5303  hsupclt 5308  hsupss 5310  hsupunss 5314

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-chsup 5278

metamath.org