Theorem hvadd12 5029

Description: Hilbert vector space commutative/associative law.

Hypotheses

Ref	Expression
hvass.1	⊢ A ∈ ℋ
hvass.2	⊢ B ∈ ℋ
hvass.3	⊢ C ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvadd12	⊢ (A +v (B +v C)) = (B +v (A +v C))

Proof of Theorem hvadd12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvass.1	. . . 4 ⊢ A ∈ ℋ
2		hvass.2	. . . 4 ⊢ B ∈ ℋ
3	1, 2	hvcom 5000	. . 3 ⊢ (A +v B) = (B +v A)
4	3	opreq1i 3009	. 2 ⊢ ((A +v B) +v C) = ((B +v A) +v C)
5		hvass.3	. . 3 ⊢ C ∈ ℋ
6	1, 2, 5	hvass 5025	. 2 ⊢ ((A +v B) +v C) = (A +v (B +v C))
7	2, 1, 5	hvass 5025	. 2 ⊢ ((B +v A) +v C) = (B +v (A +v C))
8	4, 6, 7	3eqtr3 1124	1 ⊢ (A +v (B +v C)) = (B +v (A +v C))

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959

This theorem is referenced by:  hvsubadd 5038  pjthlem14 5238

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003

metamath.org