Theorem hvadd12t 5012

Description: Commutative/associative law.

Assertion

Ref	Expression
hvadd12t	⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ∧ C ∈ ℋ ) → (A +v (B +v C)) = (B +v (A +v C)))

Proof of Theorem hvadd12t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvcom 4985	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (A +v B) = (B +v A))
2	1	opreq1d 3012	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → ((A +v B) +v C) = ((B +v A) +v C))
3	2	3adant3 599	. 2 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ∧ C ∈ ℋ ) → ((A +v B) +v C) = ((B +v A) +v C))
4		ax-hvass 4986	. 2 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ∧ C ∈ ℋ ) → ((A +v B) +v C) = (A +v (B +v C)))
5		ax-hvass 4986	. . 3 ⊢ ((B ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ∧ C ∈ ℋ ) → ((B +v A) +v C) = (B +v (A +v C)))
6	5	3com12 614	. 2 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ∧ C ∈ ℋ ) → ((B +v A) +v C) = (B +v (A +v C)))
7	3, 4, 6	3eqtr3d 1133	1 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ∧ C ∈ ℋ ) → (A +v (B +v C)) = (B +v (A +v C)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959

This theorem is referenced by:  hvaddsub12t 5015

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003

metamath.org