Theorem hvadd4t 5013

Description: Hilbert vector space addition law.

Assertion

Ref	Expression
hvadd4t	⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((A +v B) +v (C +v D)) = ((A +v C) +v (B +v D)))

Proof of Theorem hvadd4t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvadd23t 5011	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ∧ C ∈ ℋ ) → ((A +v B) +v C) = ((A +v C) +v B))
2	1	opreq1d 3012	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ∧ C ∈ ℋ ) → (((A +v B) +v C) +v D) = (((A +v C) +v B) +v D))
3	2	3expa 612	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ C ∈ ℋ ) → (((A +v B) +v C) +v D) = (((A +v C) +v B) +v D))
4	3	adantrr 312	. 2 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → (((A +v B) +v C) +v D) = (((A +v C) +v B) +v D))
5		ax-hvass 4986	. . . 4 ⊢ (((A +v B) ∈ ℋ ∧ C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) → (((A +v B) +v C) +v D) = ((A +v B) +v (C +v D)))
6	5	3expb 613	. . 3 ⊢ (((A +v B) ∈ ℋ ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → (((A +v B) +v C) +v D) = ((A +v B) +v (C +v D)))
7		ax-hvaddcl 4984	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (A +v B) ∈ ℋ )
8	6, 7	sylan 343	. 2 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → (((A +v B) +v C) +v D) = ((A +v B) +v (C +v D)))
9		ax-hvass 4986	. . . . 5 ⊢ (((A +v C) ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) → (((A +v C) +v B) +v D) = ((A +v C) +v (B +v D)))
10	9	3expb 613	. . . 4 ⊢ (((A +v C) ∈ ℋ ∧ (B ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → (((A +v C) +v B) +v D) = ((A +v C) +v (B +v D)))
11		ax-hvaddcl 4984	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ C ∈ ℋ ) → (A +v C) ∈ ℋ )
12	10, 11	sylan 343	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ C ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → (((A +v C) +v B) +v D) = ((A +v C) +v (B +v D)))
13	12	an4s 390	. 2 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → (((A +v C) +v B) +v D) = ((A +v C) +v (B +v D)))
14	4, 8, 13	3eqtr3d 1133	1 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((A +v B) +v (C +v D)) = ((A +v C) +v (B +v D)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959

This theorem is referenced by:  hvsub4t 5014  hvadd4 5030  shscl 5282  spanunsn 5482

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003

metamath.org