Theorem hvsub4t 5014

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law.

Assertion

Ref	Expression
hvsub4t	⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((A +v B) −v (C +v D)) = ((A −v C) +v (B −v D)))

Proof of Theorem hvsub4t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cn 4101	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
2	1	negcl 4142	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		ax-hvdistr1 4993	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) → (-1 ·s (C +v D)) = ((-1 ·s C) +v (-1 ·s D)))
4	2, 3	mp3an1 639	. . . . 5 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) → (-1 ·s (C +v D)) = ((-1 ·s C) +v (-1 ·s D)))
5	4	adantl 305	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → (-1 ·s (C +v D)) = ((-1 ·s C) +v (-1 ·s D)))
6	5	opreq2d 3013	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((A +v B) +v (-1 ·s (C +v D))) = ((A +v B) +v ((-1 ·s C) +v (-1 ·s D))))
7		ax-hvmulcl 4989	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ C ∈ ℋ ) → (-1 ·s C) ∈ ℋ )
8	2, 7	mp#n 518	. . . . . . 7 ⊢ (C ∈ ℋ → (-1 ·s C) ∈ ℋ )
9	8	anim2i 270	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ C ∈ ℋ ) → (A ∈ ℋ ∧ (-1 ·s C) ∈ ℋ ))
10		ax-hvmulcl 4989	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ D ∈ ℋ ) → (-1 ·s D) ∈ ℋ )
11	2, 10	mpan 518	. . . . . . 7 ⊢ (D ∈ ℋ → (-1 ·s D) ∈ ℋ )
12	11	anim2i 270	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) → (B ∈ ℋ ∧ (-1 ·s D) ∈ ℋ ))
13	9, 12	anim12i 268	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ C ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((A ∈ ℋ ∧ (-1 ·s C) ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℋ ∧ (-1 ·s D) ∈ ℋ )))
14	13	an4s 390	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((A ∈ ℋ ∧ (-1 ·s C) ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℋ ∧ (-1 ·s D) ∈ ℋ )))
15		hvadd4t 5013	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ (-1 ·s C) ∈ ℋ ) ∧ (B ∈ ℋ ∧ (-1 ·s D) ∈ ℋ )) → ((A +v (-1 ·s C)) +v (B +v (-1 ·s D))) = ((A +v B) +v ((-1 ·s C) +v (-1 ·s D))))
16	14, 15	syl 12	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((A +v (-1 ·s C)) +v (B +v (-1 ·s D))) = ((A +v B) +v ((-1 ·s C) +v (-1 ·s D))))
17	6, 16	eqtr4d 1131	. 2 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((A +v B) +v (-1 ·s (C +v D))) = ((A +v (-1 ·s C)) +v (B +v (-1 ·s D))))
18		hvsubvalt 4997	. . 3 ⊢ (((A +v B) ∈ ℋ ∧ (C +v D) ∈ ℋ ) → ((A +v B) −v (C +v D)) = ((A +v B) +v (-1 ·s (C +v D))))
19		ax-hvaddcl 4984	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (A +v B) ∈ ℋ )
20		ax-hvaddcl 4984	. . 3 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) → (C +v D) ∈ ℋ )
21	18, 19, 20	syl2an 349	. 2 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((A +v B) −v (C +v D)) = ((A +v B) +v (-1 ·s (C +v D))))
22		hvsubvalt 4997	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ C ∈ ℋ ) → (A −v C) = (A +v (-1 ·s C)))
23	22	adantrr 312	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → (A −v C) = (A +v (-1 ·s C)))
24	23	adantlr 310	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → (A −v C) = (A +v (-1 ·s C)))
25		hvsubvalt 4997	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) → (B −v D) = (B +v (-1 ·s D)))
26	25	adantrl 311	. . . 4 ⊢ ((B ∈ ℋ ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → (B −v D) = (B +v (-1 ·s D)))
27	26	adantll 309	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → (B −v D) = (B +v (-1 ·s D)))
28	24, 27	opreq12d 3014	. 2 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((A −v C) +v (B −v D)) = ((A +v (-1 ·s C)) +v (B +v (-1 ·s D))))
29	17, 21, 28	3eqtr4d 1134	1 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((A +v B) −v (C +v D)) = ((A −v C) +v (B −v D)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  1c1 4029  -cneg 4090   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   ·_s csm 4960   −_v cmv 4962

This theorem is referenced by:  chocuni 5179  osumlem2 5531  5oalem2 5545  3oalem2 5553

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvmulcl 4989  ax-hvdistr1 4993

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-sub 4133  df-neg 4135  df-hvsub 4996

metamath.org