Theorem hvsubsub4 5031

Description: Hilbert vector space addition law.

Hypotheses

Ref	Expression
hvass.1	⊢ A ∈ ℋ
hvass.2	⊢ B ∈ ℋ
hvass.3	⊢ C ∈ ℋ
hvadd4.4	⊢ D ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubsub4	⊢ ((A −v B) −v (C −v D)) = ((A −v C) −v (B −v D))

Proof of Theorem hvsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvass.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ ℋ
2		1cn 4101	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	2	negcl 4142	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		hvass.2	. . . . . 6 ⊢ B ∈ ℋ
5	3, 4	hvmulcl 4990	. . . . 5 ⊢ (-1 ·s B) ∈ ℋ
6		hvass.3	. . . . . 6 ⊢ C ∈ ℋ
7	3, 6	hvmulcl 4990	. . . . 5 ⊢ (-1 ·s C) ∈ ℋ
8		hvadd4.4	. . . . . . 7 ⊢ D ∈ ℋ
9	3, 8	hvmulcl 4990	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·s D) ∈ ℋ
10	3, 9	hvmulcl 4990	. . . . 5 ⊢ (-1 ·s (-1 ·s D)) ∈ ℋ
11	1, 5, 7, 10	hvadd4 5030	. . . 4 ⊢ ((A +v (-1 ·s B)) +v ((-1 ·s C) +v (-1 ·s (-1 ·s D)))) = ((A +v (-1 ·s C)) +v ((-1 ·s B) +v (-1 ·s (-1 ·s D))))
12	3, 6, 9	hvdistr1 5023	. . . . 5 ⊢ (-1 ·s (C +v (-1 ·s D))) = ((-1 ·s C) +v (-1 ·s (-1 ·s D)))
13	12	opreq2i 3010	. . . 4 ⊢ ((A +v (-1 ·s B)) +v (-1 ·s (C +v (-1 ·s D)))) = ((A +v (-1 ·s B)) +v ((-1 ·s C) +v (-1 ·s (-1 ·s D))))
14	3, 4, 9	hvdistr1 5023	. . . . 5 ⊢ (-1 ·s (B +v (-1 ·s D))) = ((-1 ·s B) +v (-1 ·s (-1 ·s D)))
15	14	opreq2i 3010	. . . 4 ⊢ ((A +v (-1 ·s C)) +v (-1 ·s (B +v (-1 ·s D)))) = ((A +v (-1 ·s C)) +v ((-1 ·s B) +v (-1 ·s (-1 ·s D))))
16	11, 13, 15	3eqtr4 1126	. . 3 ⊢ ((A +v (-1 ·s B)) +v (-1 ·s (C +v (-1 ·s D)))) = ((A +v (-1 ·s C)) +v (-1 ·s (B +v (-1 ·s D))))
17	1, 5	hvaddcl 4999	. . . 4 ⊢ (A +v (-1 ·s B)) ∈ ℋ
18	6, 9	hvaddcl 4999	. . . 4 ⊢ (C +v (-1 ·s D)) ∈ ℋ
19	17, 18	hvsubval 5001	. . 3 ⊢ ((A +v (-1 ·s B)) −v (C +v (-1 ·s D))) = ((A +v (-1 ·s B)) +v (-1 ·s (C +v (-1 ·s D))))
20	1, 7	hvaddcl 4999	. . . 4 ⊢ (A +v (-1 ·s C)) ∈ ℋ
21	4, 9	hvaddcl 4999	. . . 4 ⊢ (B +v (-1 ·s D)) ∈ ℋ
22	20, 21	hvsubval 5001	. . 3 ⊢ ((A +v (-1 ·s C)) −v (B +v (-1 ·s D))) = ((A +v (-1 ·s C)) +v (-1 ·s (B +v (-1 ·s D))))
23	16, 19, 22	3eqtr4 1126	. 2 ⊢ ((A +v (-1 ·s B)) −v (C +v (-1 ·s D))) = ((A +v (-1 ·s C)) −v (B +v (-1 ·s D)))
24	1, 4	hvsubval 5001	. . 3 ⊢ (A −v B) = (A +v (-1 ·s B))
25	6, 8	hvsubval 5001	. . 3 ⊢ (C −v D) = (C +v (-1 ·s D))
26	24, 25	opreq12i 3011	. 2 ⊢ ((A −v B) −v (C −v D)) = ((A +v (-1 ·s B)) −v (C +v (-1 ·s D)))
27	1, 6	hvsubval 5001	. . 3 ⊢ (A −v C) = (A +v (-1 ·s C))
28	4, 8	hvsubval 5001	. . 3 ⊢ (B −v D) = (B +v (-1 ·s D))
29	27, 28	opreq12i 3011	. 2 ⊢ ((A −v C) −v (B −v D)) = ((A +v (-1 ·s C)) −v (B +v (-1 ·s D)))
30	23, 26, 29	3eqtr4 1126	1 ⊢ ((A −v B) −v (C −v D)) = ((A −v C) −v (B −v D))

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001  1c1 4029  -cneg 4090   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   ·_s csm 4960   −_v cmv 4962

This theorem is referenced by:  hvsubsub4t 5032  pjsslem 5570

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvmulcl 4989  ax-hvdistr1 4993

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-sub 4133  df-neg 4135  df-hvsub 4996

metamath.org