Theorem hvsubvalt 4997

Description: Value of vector subtraction.

Assertion

Ref	Expression
hvsubvalt	⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (A −v B) = (A +v (-1 ·s B)))

Proof of Theorem hvsubvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 3018	. 2 ⊢ (A +v (-1 ·s B)) ∈ V
2		opreq1 3006	. 2 ⊢ (x = A → (x +v (-1 ·s y)) = (A +v (-1 ·s y)))
3		opreq2 3007	. . 3 ⊢ (y = B → (-1 ·s y) = (-1 ·s B))
4	3	opreq2d 3013	. 2 ⊢ (y = B → (A +v (-1 ·s y)) = (A +v (-1 ·s B)))
5		df-hvsub 4996	. 2 ⊢ −v = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z = (x +v (-1 ·s y)))}
6	1, 2, 4, 5	oprabval2 3051	1 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (A −v B) = (A +v (-1 ·s B)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001  1c1 4029  -cneg 4090   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   ·_s csm 4960   −_v cmv 4962

This theorem is referenced by:  hvsubclt 4998  hvsubval 5001  hvsubidt 5005  hvnegidt 5006  hvsub4t 5014  hvaddsub12t 5015  hvsubcan1t 5016  hvaddsubasst 5018  hvsub0t 5041  his2subt 5052  shsubclt 5125

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-hvsub 4996

metamath.org