Theorem idssen 3309

Description: Equality implies equinumerosity.

Assertion

Ref	Expression
idssen	⊢ I ⊆ ≈

Proof of Theorem idssen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 2500	. 2 ⊢ Rel I
2		visset 1350	. . . . 5 ⊢ x ∈ V
3		visset 1350	. . . . 5 ⊢ y ∈ V
4	2, 3	ideq 2127	. . . 4 ⊢ (xIy ↔ x = y)
5		f1oi 2825	. . . . . 6 ⊢ (I ↾ x):x–1-1-onto→x
6		f1oeq3 2797	. . . . . 6 ⊢ (x = y → ((I ↾ x):x–1-1-onto→x ↔ (I ↾ x):x–1-1-onto→y))
7	5, 6	mpbii 168	. . . . 5 ⊢ (x = y → (I ↾ x):x–1-1-onto→y)
8	2	f1oen 3301	. . . . 5 ⊢ ((I ↾ x):x–1-1-onto→y → x ≈ y)
9	7, 8	syl 12	. . . 4 ⊢ (x = y → x ≈ y)
10	4, 9	sylbi 174	. . 3 ⊢ (xIy → x ≈ y)
11		df-br 2063	. . 3 ⊢ (xIy ↔ ⟨x, y⟩ ∈ I)
12		df-br 2063	. . 3 ⊢ (x ≈ y ↔ ⟨x, y⟩ ∈ ≈ )
13	10, 11, 12	3imtr3 191	. 2 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ I → ⟨x, y⟩ ∈ ≈ )
14	1, 13	relssi 2481	1 ⊢ I ⊆ ≈

Syntax hints:   = weq 797   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  Icid 2057   ↾ cres 2412  –1-1-onto→wf1o 2421   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  dmen 3310

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-en 3274

metamath.org